Sea O el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, y sea P un punto cualquiera sobre el segmento BC (P≠B y P≠C). Supón que la circunferencia circunscrita al triángulo BPO corta al segmento AB en R (R≠A y R≠B) y que la circunferencia circunscrita al triángulo COP corta al segmento CA en el punto Q (Q≠C y Q≠A).
- (i) Considera el triángulo PQR; muestra que es semejante al triángulo ABC y que su ortocentro es O.
- (ii) Muestra que las circunferencias circunscritas a los triángulos BPO,COP y PQR son todas del mismo tamaño.
Creo que es un problema
Creo que es un problema bastante sencillo para haber sido 1 en el Nacional del 2005.Esta es mi solución:
Sabemos que AOB,BOC y COA son triangulos isosceles por estar formados por radios del circuncirculo de ABC.Podemos nombrar angulos: ∠ABO=∠OAB=α, ∠OBC=∠BCO=β y ∠OCA=∠CAO=γ
Sabemos que ROPB es cíclico porque todos los puntos estan sobre la circunferencia de BOP → ∠RBO=∠RPO=α (ya que R y A son colineales), lo mismo sucede para ∠OBP=∠ORP=β
Sabemos que tambien PCQO es cíclico → ∠QCO=∠QPO=γ y ∠OCP=∠OQP=β
Ahora demostramos que RAQO es cíclico, sabemos que por angulos opuestos en cíclicos ∠POQ=90+α y ∠ROP=90+γ,tambien que ∠ROP+∠POQ+∠ROQ=360∴∠ROQ=360−180−α−γ, que pasa si fuera cíclico sabemos que ∠RAQ=α+γ→∠ROQ=180−α−γ cumpliendo con la medida real del angulo ∴ RAQO es cíclico.
Entonces tenemos que ∠RAO=∠RQO=α y ∠OAQ=∠QRO=γ.
Con todo lo anterior, completamos los angulos de △RQP demostrando que por AA ABC∼PQR
Para demostrar el inciso b) hay dos formas: ley de senos (a mi parecer la mas ocurrible y sencilla) y la construccion de paralelogramos.
Con ley de senos observamos que:
OPsinβ=2R para △OPQ de la circunferencia correspondiente.
OPsinβ=2R para △PRO de la circunferencia correspondiente.
Por lo tanto △BOP y △OPC tienen circuncírculos con mismo radio.
Para demostrar que el circuncirculo de △PQR es igual al de △BOP sabemos que por razón conocida RPsinα+β=2R (En el triangulo RQP) es igual a RPsin180−α−β=2R (En el triangulo ROP). Por lo tanto, los circuncirculos de BOP,POC y PQR son iguales. ◼
PD. Mañana subo la segunda demostracion de la que hable para el inciso b
Creo que hay problemas con LATEX en el ultimo parrafo:C
Esta interesante lo que
Esta interesante lo que propones para la segunda parte.
Lo que también podías hacer para la segunda parte era fijarte que <RAO y <OBR, como son iguales y además abren el mismo arco, es una razón suficiente para decir que esas circunferencias son iguales, análogamente te fijas en el <OAC y <ACO y terminas.