Problema 3(G)

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Sea ABC un triángulo con ABAC. Sean H su ortocentro, O su circuncentro y D el punto medio de BC. Sea P la intersección de AO y HD. Demostrar que los triángulos AHP y ABC tienen el mismo baricentro.



Imagen de Roberto Alain Rivera Bravo

(Sin asunto)

Imagen de Roberto Alain Rivera Bravo

Sea Γ circuncírculo,

Sea Γ circuncírculo, G baricentro, AM,BL,CN alturas y AD mediana de ABC, y trazamos BP y PC

Primero demostraremos que P está en Γ . Para esto, usando contradicción,  supongamos que AO y HD no se intersectan en Γ, y sea P el punto diametralmente opuesto a A . Tenemos que como ACP=ABP=90°, y como BHAC y CHAB, luego CPBH y BPCH , y por tanto BHCP es paralelogramo. Como por hipótesis D es punto medio de BC y las diagonales se bisecan en sus puntos medios, D es también punto medio de la diagonal HP, por lo que la recta que pasa por H y D pasa por el punto diametralmente opuesto a A, y así P=P.

Luego, como en efecto por lo anteriormente demostrado HD=DP , AD es mediana de BHP, pero también de ABC por hipótesis ( D punto medio de BC ), y por tanto pasa por G.

Vemos HO es también mediana de AHP pues AP es diámetro y O centro de Γ, pero además por la existencia de la recta de Euler, H,G y O son colineales, y también HO pasa por G. Así, las medianas HO y AD de AHP se intersectan en G, y entonces G es baricentro de AHP.

Por tanto ABC y AHP tienen el mismo baricentro.

Imagen de jmd

Gracias Alain, excelente

Gracias Alain, excelente colaboración con latex y figura y buena redacción. 

Me preguntaban si había forma de evitar la recta de Euler en la demostración. Y pues sí: una vez que llegas a que AD es mediana común se tiene que evocar la propiedad de que el baricentro está a 2/3 de la distancia desde el vértice al punto medio (en este caso a 2/3 de la distancia desde A hasta D). Bueno, hay que convencerse a si mismo de que solamente existe un punto en un segmento que divide a éste en una razon dada. 

Y bueno, una fórmula muy fácil de retener en la memoria y de uso inmediato es: si comparten mediana comparten baricentro.