Sea ABC un triángulo con AB≠AC. Sean H su ortocentro, O su circuncentro y Del punto medio de BC. Sea P la intersección de AO y HD. Demostrar que los triángulos AHP y ABC tienen el mismo baricentro.
Enviado por Roberto Alain R... el 30 de Agosto de 2015 - 22:08.
Sea Γ circuncírculo, G baricentro, AM,BL,CN alturas y AD mediana de ABC, y trazamos BP y PC .
Primero demostraremos que P está en Γ . Para esto, usando contradicción, supongamos que AO y HD no se intersectan en Γ, y sea P′ el punto diametralmente opuesto a A . Tenemos que como ∠ACP′=∠ABP′=90°, y como BH⊥AC y CH⊥AB, luego CP′∥BH y BP′∥CH , y por tanto BHCP′ es paralelogramo. Como por hipótesis D es punto medio de BC y las diagonales se bisecan en sus puntos medios, D es también punto medio de la diagonal HP′, por lo que la recta que pasa por H y D pasa por el punto diametralmente opuesto a A, y así P=P′.
Luego, como en efecto por lo anteriormente demostrado HD=DP , AD es mediana de BHP, pero también de ABC por hipótesis ( D punto medio de BC ), y por tanto pasa por G.
Vemos HO es también mediana de AHP pues AP es diámetro y O centro de Γ, pero además por la existencia de la recta de Euler, H,G y O son colineales, y también HO pasa por G. Así, las medianas HO y AD de AHP se intersectan en G, y entonces G es baricentro de AHP.
Gracias Alain, excelente colaboración con latex y figura y buena redacción.
Me preguntaban si había forma de evitar la recta de Euler en la demostración. Y pues sí: una vez que llegas a que AD es mediana común se tiene que evocar la propiedad de que el baricentro está a 2/3 de la distancia desde el vértice al punto medio (en este caso a 2/3 de la distancia desde A hasta D). Bueno, hay que convencerse a si mismo de que solamente existe un punto en un segmento que divide a éste en una razon dada.
Y bueno, una fórmula muy fácil de retener en la memoria y de uso inmediato es: si comparten mediana comparten baricentro.
(Sin asunto)
Sea Γ circuncírculo,
Sea Γ circuncírculo, G baricentro, AM,BL,CN alturas y AD mediana de ABC, y trazamos BP y PC .
Primero demostraremos que P está en Γ . Para esto, usando contradicción, supongamos que AO y HD no se intersectan en Γ, y sea P′ el punto diametralmente opuesto a A . Tenemos que como ∠ACP′=∠ABP′=90°, y como BH⊥AC y CH⊥AB, luego CP′∥BH y BP′∥CH , y por tanto BHCP′ es paralelogramo. Como por hipótesis D es punto medio de BC y las diagonales se bisecan en sus puntos medios, D es también punto medio de la diagonal HP′, por lo que la recta que pasa por H y D pasa por el punto diametralmente opuesto a A, y así P=P′.
Luego, como en efecto por lo anteriormente demostrado HD=DP , AD es mediana de BHP, pero también de ABC por hipótesis ( D punto medio de BC ), y por tanto pasa por G.
Vemos HO es también mediana de AHP pues AP es diámetro y O centro de Γ, pero además por la existencia de la recta de Euler, H,G y O son colineales, y también HO pasa por G. Así, las medianas HO y AD de AHP se intersectan en G, y entonces G es baricentro de AHP.
Por tanto ABC y AHP tienen el mismo baricentro.
Gracias Alain, excelente
Gracias Alain, excelente colaboración con latex y figura y buena redacción.
Me preguntaban si había forma de evitar la recta de Euler en la demostración. Y pues sí: una vez que llegas a que AD es mediana común se tiene que evocar la propiedad de que el baricentro está a 2/3 de la distancia desde el vértice al punto medio (en este caso a 2/3 de la distancia desde A hasta D). Bueno, hay que convencerse a si mismo de que solamente existe un punto en un segmento que divide a éste en una razon dada.
Y bueno, una fórmula muy fácil de retener en la memoria y de uso inmediato es: si comparten mediana comparten baricentro.