Solución de una cuadrática (Problema 3, regiones 2008)

Enviado por jmd el 9 de Junio de 2008 - 18:15.

Sea dado un segmento AB de longitud b. Por B se levanta una perpendicular a AB, y sobre ella se fija un punto O tal que BO=a/2. Se traza a continuación la circunferencia de centro O y radio a/2. La recta AO corta en P y Q a la circunferencia (P más cerca de A que Q). Si llamamos x a la longitud de AP, explicar por qué y cómo esta construcción resuelve la ecuación cuadrática $x^2+ax=b^2$. (Nota: de hecho sólo obtiene la raíz positiva de la ecuación, si es que existe.)

Solución

Por:

jmd

Solución:

Según los datos, y Pitágoras, $b^2+(a/2)^2=(x+a/2)^2$. Eliminando el paréntesis del lado derecho, y agrupando y simplificando, se obtiene $x^2+ax=b^2$, la ecuación cuadrática que la construcción supuestamente resuelve.

¿Cómo la resuelve? Dadas los coeficientes de la ecuación (los valores de $ a $ y $ b $ ), se ejecuta el procedimiento de construcción y se obtiene una figura como la mostrada. Para obtener $ x $, basta medir la longitud $AP$. (Este valor de $ x $ cumple la ecuación como se acaba de demostrar.)

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