El modelo algebraico para las condiciones implícitas en el diálogo (con a = las unidades que Abel tiene, y b = las unidades que Bárbara tiene) es:
(a+n)=2(b−n) o a+n=2b−2n
n(a−2)=(b+2) o na−2n=b+2
Resolviendo para a (despejando b de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera) se obtiene: a=(7n+4)/(2n−1). La condición implícita es que este valor debe ser entero.
Para obtener los valores posibles de n hay que hacer la división para quedarnos sólo con la parte fraccionaria que esté en duda que sea entera:
(7n+4)/(2n−1)=3+(n+7)/(2n−1)
El problema entonces se reduce a averiguar para qué valores enteros positivos de n el cociente (n+7)/(2n−1) es un entero. Para ello primero observemos que si n es 10 o mayor, el cociente es menor que 1. Para mayor exactitud se puede resolver la desigualdad n+7≥2n−1, lo cual resulta en n≤8. Esto demostraría que no hay valores de n mayores que 8.
Los valores de n se pueden obtener por tanteos llenando una tabla de dos columnas: n y el cociente. Los valores de n que cumplen son: 1, 2, 3, 8.
A continuación está la solución alternativa del problema 9 de ciudades que coincide con la segunda parte de este problema:
Solución alternativa (a la segunda parte)
El siguiente hecho es obvio y muy útil para este tipo de problemas de concurso: “si a/b es entero entonces (ax+by)/b es entero para x,y enteros” La forma de usarlo es elegir los valores de x,y de manera que el numerador quede lo más simple posible.
Eligiendo x=2,y=−7, se logra ver que si (7n+4)/(2n−1) es entero, entonces 15/(2n–1) es también entero. En otras palabras, si este último cociente no es entero entonces el primero tampoco lo es. Esto permite reducir la búsqueda a los divisores de 15. Es decir, a las n tales que 2n–1 es divisor de 15. Verificando cada posibilidad se obtiene la solución anterior. Los valores de n que cumplen son: 1, 2, 3, 8.
