Con centro en el incentro I, de un triángulo ABC se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento BC en D y P (siendo D el más cercano a B); al segmento CA en E y Q (siendo E el más cercano a C), y al segmento AB en F y R (siendo F el más cercano a A).
Sea S el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero EQFR. Sea T el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero FRDP. Sea U el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero DPEQ.
Demostrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos FRT, DPU y EQS tienen un único punto común.
Hola, bueno como $\angle RAI
Hola, bueno como ∠RAI=∠IAE y como AI=AI y IR=IE se dara que ARI≡AIE esto no es el criterio LAL pero estos datos son suficientes, podemos aplicar ley de senos para constatarlo. de alli a que AR=AE de manera analoga (AR,AE)(AF,AQ)(BF,BP)(BR,BD)(CP,CE)(CD,CQ) son iguales por parejas.
Por lo que al usar el teorema de tales, FQ es paralela a RE por lo que FQER es un trapecio isoceles ciclico, tambien lo son DQEP y DRFP. Esto nos da la idea de que los arcos, FR , DP y QE son iguales por lo tanto los angulos que los tomen seran iguales. Supongamos que ∠REF=α por lo que ∠QSU=∠RTF=∠DUP=2α esto usando los hechos de las parelas y los angulos iguales recien encontrados.
Ahora, como ∠REF=α e I es el centro de la circunferencia entonces ∠RIF=2α por lo que I esta sobre la circunferencia circunscrita a RFT, pero tambien ∠DIP=2α por lo que I esta sobre la circunferencia circunscrita a DPU y de la misma manera esta sobre la circunferencia circunscrita a QES. es decir I esta sobre las circunferencias de FRT, QES y DPU.
y pues I es el punto en comun de dichas circunferencias.
Saludos
Germán.