Con centro en el incentro I, de un triángulo ABC se traza una circunferencia que corta en dos puntos a cada uno de los tres lados del triángulo: al segmento BC en D y P (siendo D el más cercano a B); al segmento CA en E y Q (siendo E el más cercano a C), y al segmento AB en F y R (siendo F el más cercano a A).
Sea S el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero EQFR. Sea T el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero FRDP. Sea U el punto de intersección de las diagonales del cuadrilátero DPEQ.
Demostrar que las circunferencias circunscritas a los triángulos FRT, DPU y EQS tienen un único punto común.
Hola, bueno como $\angle RAI
Hola, bueno como $\angle RAI = \angle IAE$ y como $AI=AI$ y $IR=IE$ se dara que $ ARI \equiv AIE$ esto no es el criterio LAL pero estos datos son suficientes, podemos aplicar ley de senos para constatarlo. de alli a que $AR=AE$ de manera analoga $(AR,AE) (AF,AQ) (BF,BP) (BR,BD) (CP,CE) (CD,CQ) $ son iguales por parejas.
Por lo que al usar el teorema de tales, FQ es paralela a RE por lo que FQER es un trapecio isoceles ciclico, tambien lo son DQEP y DRFP. Esto nos da la idea de que los arcos, FR , DP y QE son iguales por lo tanto los angulos que los tomen seran iguales. Supongamos que $\angle REF = \alpha$ por lo que $\angle QSU = \angle RTF = \angle DUP = 2\alpha$ esto usando los hechos de las parelas y los angulos iguales recien encontrados.
Ahora, como $\angle REF = \alpha$ e $I$ es el centro de la circunferencia entonces $\angle RIF = 2\alpha$ por lo que $I$ esta sobre la circunferencia circunscrita a $RFT$, pero tambien $\angle DIP = 2\alpha$ por lo que $I$ esta sobre la circunferencia circunscrita a DPU y de la misma manera esta sobre la circunferencia circunscrita a QES. es decir I esta sobre las circunferencias de FRT, QES y DPU.
y pues I es el punto en comun de dichas circunferencias.
Saludos
Germán.