Desigualdad homogenea

 Notemos que $a+b+c=1$ es lo mismo que $a=1-b-c$.

Luego en $\sqrt{a+bc}$ lo sustituimos, factorizamos y queda

$$\sqrt{a+bc}=\sqrt{1-b-c+bc}=\sqrt{(1-c)(1-b)}$$

Por la restricción y porque $b,c$ son positivos tenemos que $b \leq 1$ y $c\leq 1$

Por lo tanto podemos aplicar MA-MG

$$\sqrt{(1-c)(1-b)} \leq \frac{1+(1-c-b)}{2}= \frac{1+a}{2}$$

Hacemos lo mismo en los otros dos términos y tenemos

$$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab} \leq \frac{3+a+b+c}{2}=\frac{3+1}{2}=2$$

Sean, $\sqrt{a+bc}=\sqrt{x},\sqrt{b+ca}=\sqrt{y},\sqrt{c+ab}=\sqrt{z}$

Además, es claro que $a,b,c$ estan contenidos en el intervalo $(0,1)$

entonces

$a+bc=x$ 

$b+ca=y$

$c+ab=z$ y  $x+y+z=ab+bc+ca+1$

como la función, $f(x)=\sqrt{x}$, es cóncava en el intervalo $(0,\infty)$

entonces por la desigualdad de Jensen queda.

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=3\sqrt{\frac{ab+bc+ca+1}{3}}$

Y del hecho conocido $3(ab+bc+ca)\leq(a+b+c)^2$

Concluimos que $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\leq2$