Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a+b+c = 1$.
Muestra que: $$\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab}\leq 2.$$
Desigualdad homogenea
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Notemos que $a+b+c=1$ es lo
Notemos que $a+b+c=1$ es lo mismo que $a=1-b-c$.
Luego en $\sqrt{a+bc}$ lo sustituimos, factorizamos y queda
$$\sqrt{a+bc}=\sqrt{1-b-c+bc}=\sqrt{(1-c)(1-b)}$$
Por la restricción y porque $b,c$ son positivos tenemos que $b \leq 1$ y $c\leq 1$
Por lo tanto podemos aplicar MA-MG
$$\sqrt{(1-c)(1-b)} \leq \frac{1+(1-c-b)}{2}= \frac{1+a}{2}$$
Hacemos lo mismo en los otros dos términos y tenemos
$$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab} \leq \frac{3+a+b+c}{2}=\frac{3+1}{2}=2$$
Perfecto!!! Rápido y directo!
Perfecto!!! Rápido y directo!
Sean,
Sean, $\sqrt{a+bc}=\sqrt{x},\sqrt{b+ca}=\sqrt{y},\sqrt{c+ab}=\sqrt{z}$
Además, es claro que $a,b,c$ estan contenidos en el intervalo $(0,1)$
entonces
$a+bc=x$
$b+ca=y$
$c+ab=z$ y $x+y+z=ab+bc+ca+1$
como la función, $f(x)=\sqrt{x}$, es cóncava en el intervalo $(0,\infty)$
entonces por la desigualdad de Jensen queda.
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq3\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=3\sqrt{\frac{ab+bc+ca+1}{3}}$
Y del hecho conocido $3(ab+bc+ca)\leq(a+b+c)^2$
Concluimos que $\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\leq2$