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Medida de un ángulo: elemental pero...
Los ángulos en la base $BC$ del isósceles $ABC$ miden 40 grados. El lado $AB$ se prolonga hasta el punto $D$ de manera que $B$ quede entre $A$ y $D$ y $AD=BC$. ¿Cuánto mide el ángulo $BCD$?
Sobre el principio de no contradicción
El año pasado, al iniciar los entrenamientos de la preselección Tamaulipas para la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, les presenté a los preseleccionados el "teorema" clásico de que todos los triángulos son isósceles (Ver mi post Lapsus de razonamiento para una "demostración" ).
Después de presentar la figura a mano alzada en el pizarrón (de hecho, la figura es la fuente de toda la confusión) Luis Brandon pasó al frente y realizó la "demostración" (pues ya la conocía y sabía que estaba trucada).
Suma de potencias múltiplo de 7
Demostrar que para $n$ entero no negativo, la función $f(n)=4^{2^n}+2^{2^n}+1$ es múltiplo de 7.
Puntos medios, líneas medias e isósceles rectángulos
Sean $D,E$ puntos en el exterior del triángulo $ABC$ tales que los triángulos $ABD$ y $ACE$ son isósceles rectángulos en $D$ y $E$, respectivamente. Demostrar que si $F$ es punto medio de $BC$, entonces el triángulo $DEF$ es isósceles rectángulo en $F$
Circuncírculo de equilátero
Sea $M$ un punto en el arco $AB$ del circuncírculo del triángulo equilátero $ABC$. Demostrar que $AM+MB=MC$.
Triángulo dividible
En un triángulo isósceles $ABC$, con $AB=AC$ y ángulo en A de 20 grados, los puntos $D$ en $AC$ y $E$ en $AB$ son tales que $\angle{DBC}=60$ y $\angle{ECB}=50$. Encontrar, con prueba, la medida del $\angle{EDB}$
La factorización prima es única
Encontrar todos los pares $(x,y)$ de enteros que satisfacen la ecuación $2^x+1=y^2$
Coeficientes de una expresión cuártica
Calcular el valor de la expresión $(a_0+a_2+a_4)^2-(a_1+a_3)^2$, donde los $a_i$ son los coeficientes de la expansión de $(2x+\sqrt{3})^4$: $$(2x+\sqrt{3})^4=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+a_4x^4$$
Desigualdad de Jensen
Sea $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función punto medio convexa, es decir, que satisface que: $$f\left( \frac{x+y}{2} \right) \leq \frac{f(x)+f(y)}{2} $$ para toda pareja de números reales $x,y \in \mathbb{R}$.
Demostrar que para cualesquiera números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ se satisface la siguiente desigualdad: $$f \left(\frac{a_1+a_2+ \cdots +a_n}{n} \right) \leq \frac{f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)}{n}.$$
Lapsus de razonamiento en el problem solving
El lapsus (literalmente, resbalón o desliz), también llamado acto fallido o parapraxis, es un error cometido por descuido (según el DRAE).
Lapsus afectivos y lapsus cognitivos
El tema lo aborda Freud en su libro Psicopatología de la Vida Cotidiana, en donde atribuye el lapsus a una relajación del control consciente de lo reprimido --el lapsus sería el afloramiento de lo reprimido en los momentos en que los controles de la atención y/o la voluntad se debilitan.
