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Demostrar que un cuadrilátero es paralelogramo si y sólo si cada una de sus diagonales lo divide en dos triángulos de igual área.

La Prepa El Pícaro Caballero (de un país muy lejano) tiene dos tipos de profesores: pícaros y caballeros.

Sean $A$, $B$ y $C$ tres puntos colineales con $B$ entre $A$ y $C$. Sea $Y$ una circunferencia tangente a $AC$ en $B$, y sean $X$ y $Z$ las circunferencias de diámetros $AB$ y $BC$,
respectivamente. Sea $P$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $X$ y $Y$; sea $Q$ el otro punto (además de $B$) en el que se cortan las circunferencias $Y$ y $Z$.
Supón que la recta $PQ$ corta a $X$ en un punto $R$ distinto de $P$, y que esa misma recta $PQ$ corta a $Z$ en un punto $S$ distinto de $Q$. Demuestra que concurren $AR$,$CS$, y la tangente
común a $X$ y $Z$ por $B$.

Problema 3. En una fiesta hay el mismo número n de muchachos que de muchachas. Supón que a cada muchacha le gustan a muchachos y que a cada muchacho le gustan b muchachas. ¿Para qué valores de $a$ y $b$ es correcto afirmar que forzosamente hay un muchacho y una muchacha que se gustan mutuamente?