Publicaciones Recientes
P1 OMM 2000. Puntos de tangencia concíclicos
Sean $A, B, C, D$ circunferencias tales que $A$ es tangente exteriormente a $B$ en $P$, $B$ es tangente exteriormente a $C$ en $Q$, $C$ es tangente exteriormente a $D$ en $R$, y $D$ es tangente exteriormente a $A$ en $S$. Supón que $A$ y $C$ no se intersectan, ni tampoco $B$ y $D$.
- Prueba que los puntos $P, Q, R$ y $S$ están todos sobre una circunferencia.
Supón además que $A$ y $C$ tienen radio 2, $B$ y $D$ tienen radio 3, y la distancia entre los centros de $A$ y $C$ es 6.
- Determina el área del cuadrilátero $PQRS$.
P6 OMM 1999. Cubrimiento con fichas de dominó
Se dice que un polígono es ortogonal si todos sus lados tienen longitudes enteras y cada dos lados consecutivos son perpendiculares. Demuestre que si un polígono ortogonal puede cubrirse con rectángulos de $2 \times1$ (sin que éstos se traslapen) entonces al menos uno de sus lados tiene longitud par.
P5 OMM 1999. Bisectrices exteriores de trapecio
$ABCD$ es un trapecio con $AB$ paralelo a $CD$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $B$ y $C$ se intersectan en $P$. Las bisectrices exteriores de los ángulos $A$ y $D$ se intersectan en $Q$. Demuestre que la longitud de $PQ$ es igual a la mitad del perímetro del trapecio $ABCD$.
P4 OMM 1999. Diez cuadros marcados en tablero de ajedrez
En una cuadrícula de $8\times8$ se han escogido arbitrariamente 10 cuadritos y se han marcado sus centros. El lado de cada cuadrito mide 1. Demuestre que existen al menos dos puntos marcados que están separados una distancia menor o igual que $\sqrt{2}$, o que existe al menos un punto marcado que se encuentra a una distancia $1/2$ de una orilla de la cuadrícula.
P3 OMM 1999. Hexágono en triángulo: razón de áreas y concurrencia
Considere un punto $P$ en el interior del triángulo $ABC$. Sean $D, E$ y
$F$ los puntos medios de $AP, BP$ y $CP$ respectivamente y $L, M$ y $N$ los
puntos de intersección de $BF$ con $CE$, $AF$ con $CD$ y $AE$ con $BD$.
- Muestre que el área del hexágono $DNELFM$ es igual a una tercera parte del área del triángulo $ABC$.
- Muestre que $DL, EM$ y $FN$ concurren.
P2 OMM 1999. Primos en sucesión aritmética
Demuestre que no existen 1999 primos en progresión aritmética, todos ellos menores que 12345. (Nota: Una colección de números está en progresión aritmética si es de la forma $a, a+r, a+2r,\ldots, a+br.$)
P1 OMM 1999. Estrategia ganadora con fichas rojinegras
Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba ni cuántas con el lado negro hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona, en su turno, hace una de las siguientes cosas:
- Retirar cualquier número de fichas, con la condición de que todas las fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba.
- Voltear cualquier número de fichas, con la condición de que todas las
fichas tengan el mismo color hacia arriba.
Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede asegurar que ganará, el primero en jugar o el segundo?
¿Pies alineados? Bueno... ¿de dónde vienen?
Sean $ABC$ un triángulo, $\gamma$ su circunferencia circunscrita (circuncírculo), y $P$ un punto sobre $\gamma$. Demostrar que los pies de las perpendiculares bajadas desde $P$ a los lados del triángulo (o su prolongación) son colineales.
P6 OMM 1998. Planos equidistantes a 5 puntos
Un plano en el espacio es equidistante a un conjunto de puntos si la distancia de cada punto al plano es la misma. ¿Cuál es el mayor número de planos equidistantes a 5 puntos de los cuales no hay 4 en un mismo plano?
P5 OMM 1998. Paralela si y sólo si... ¿Tales?
Sean $B$ y $C$ dos puntos de una circunferencia, y $AB$ y $AC$ las tangentes
desde un punto $A$. Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ y $P$ la intersección de $BQ$ con la circunferencia. La paralela a $AB$ por $Q$ corta a $BC$ en $J$. Demuestre que $PJ$ es paralelo a $AC$ si y sólo si $BC^2 = AC \cdot QC$.
