Publicaciones Recientes
P5 OMM 2000. Operación sobre rectángulos --en tablero nxn
Se tiene un tablero de n×n, pintado como tablero de ajedrez. Está permitido efectuar la siguiente operación en el tablero:
- Escoger un rectángulo en la cuadrícula de tal manera que las longitudes de sus lados sean ambas pares o ambas impares, pero que no sean las dos iguales a 1 al mismo tiempo, e
- invertir los colores de los cuadritos de ese rectángulo.
Encuentra para qué valores de n es posible lograr que todos los cuadritos queden de un mismo color después de haber efectuado la operación el número de veces que sea necesario. (Nota: Las dimensiones de los rectángulos que se escogen pueden ir cambiando).
P4 OMM 2000. Número de primos hasta el primer compuesto
Para a y b enteros positivos, no divisibles entre 5, se construye una lista de números como sigue:
- El primer número es 5 y,
- a partir del segundo, cada número se obtiene multiplicando el número que le precede (en la lista) por a, y sumándole b.
(Por ejemplo, si a=2 y b=4, entonces los primeros tres números de la
lista serán: 5, 14, 32 (pues 14=5⋅2+4 y 32=14⋅2+4.)
¿Cuál es la cantidad máxima de primos que se pueden obtener en la lista antes de obtener el primer número no primo?
P3 OMM 2000. Regla aditiva --de formación de un conjunto
Dado un conjunto A de enteros positivos, construimos el conjunto A′ poniendo todos los elementos de A y todos los enteros positivos que se pueden obtener de la siguiente manera:
- Se escogen algunos elementos de A, sin repetir, y a cada uno de esos números se le pone el signo + o el signo −;
- luego se suman esos números con signo, y el resultado se pone en A′.
Por ejemplo, si A=2,8,13,20, entonces algunos elementos de A′ son 8 y 14 (pues 8 es elemento de A, y 14 = 20+2-8).
P2 OMM 2000. Triángulo de números --con regla simple de formación
Se construye un triángulo como el de la figura, pero empezando con los números del 1 al 2000.
P1 OMM 2000. Puntos de tangencia concíclicos
Sean A,B,C,D circunferencias tales que A es tangente exteriormente a B en P, B es tangente exteriormente a C en Q, C es tangente exteriormente a D en R, y D es tangente exteriormente a A en S. Supón que A y C no se intersectan, ni tampoco B y D.
- Prueba que los puntos P,Q,R y S están todos sobre una circunferencia.
Supón además que A y C tienen radio 2, B y D tienen radio 3, y la distancia entre los centros de A y C es 6.
- Determina el área del cuadrilátero PQRS.
P6 OMM 1999. Cubrimiento con fichas de dominó
Se dice que un polígono es ortogonal si todos sus lados tienen longitudes enteras y cada dos lados consecutivos son perpendiculares. Demuestre que si un polígono ortogonal puede cubrirse con rectángulos de 2×1 (sin que éstos se traslapen) entonces al menos uno de sus lados tiene longitud par.
P5 OMM 1999. Bisectrices exteriores de trapecio
ABCD es un trapecio con AB paralelo a CD. Las bisectrices exteriores de los ángulos B y C se intersectan en P. Las bisectrices exteriores de los ángulos A y D se intersectan en Q. Demuestre que la longitud de PQ es igual a la mitad del perímetro del trapecio ABCD.
P4 OMM 1999. Diez cuadros marcados en tablero de ajedrez
En una cuadrícula de 8×8 se han escogido arbitrariamente 10 cuadritos y se han marcado sus centros. El lado de cada cuadrito mide 1. Demuestre que existen al menos dos puntos marcados que están separados una distancia menor o igual que √2, o que existe al menos un punto marcado que se encuentra a una distancia 1/2 de una orilla de la cuadrícula.
P3 OMM 1999. Hexágono en triángulo: razón de áreas y concurrencia
Considere un punto P en el interior del triángulo ABC. Sean D,E y
F los puntos medios de AP,BP y CP respectivamente y L,M y N los
puntos de intersección de BF con CE, AF con CD y AE con BD.
- Muestre que el área del hexágono DNELFM es igual a una tercera parte del área del triángulo ABC.
- Muestre que DL,EM y FN concurren.
P2 OMM 1999. Primos en sucesión aritmética
Demuestre que no existen 1999 primos en progresión aritmética, todos ellos menores que 12345. (Nota: Una colección de números está en progresión aritmética si es de la forma a,a+r,a+2r,…,a+br.)
