Publicaciones Recientes
P2 OMM 1999. Primos en sucesión aritmética
Demuestre que no existen 1999 primos en progresión aritmética, todos ellos menores que 12345. (Nota: Una colección de números está en progresión aritmética si es de la forma $a, a+r, a+2r,\ldots, a+br.$)
P1 OMM 1999. Estrategia ganadora con fichas rojinegras
Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba ni cuántas con el lado negro hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona, en su turno, hace una de las siguientes cosas:
- Retirar cualquier número de fichas, con la condición de que todas las fichas retiradas tengan el mismo color hacia arriba.
- Voltear cualquier número de fichas, con la condición de que todas las
fichas tengan el mismo color hacia arriba.
Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál jugador puede asegurar que ganará, el primero en jugar o el segundo?
¿Pies alineados? Bueno... ¿de dónde vienen?
Sean $ABC$ un triángulo, $\gamma$ su circunferencia circunscrita (circuncírculo), y $P$ un punto sobre $\gamma$. Demostrar que los pies de las perpendiculares bajadas desde $P$ a los lados del triángulo (o su prolongación) son colineales.
P6 OMM 1998. Planos equidistantes a 5 puntos
Un plano en el espacio es equidistante a un conjunto de puntos si la distancia de cada punto al plano es la misma. ¿Cuál es el mayor número de planos equidistantes a 5 puntos de los cuales no hay 4 en un mismo plano?
P5 OMM 1998. Paralela si y sólo si... ¿Tales?
Sean $B$ y $C$ dos puntos de una circunferencia, y $AB$ y $AC$ las tangentes
desde un punto $A$. Sea $Q$ un punto del segmento $AC$ y $P$ la intersección de $BQ$ con la circunferencia. La paralela a $AB$ por $Q$ corta a $BC$ en $J$. Demuestre que $PJ$ es paralelo a $AC$ si y sólo si $BC^2 = AC \cdot QC$.
P4 OMM 1998. Sumas de dígitos inversos (\times un dígito)
Encuentre todos los enteros que se escriben como $$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\ldots+\frac{9}{a_9}$$ donde $a_1, a_2, \ldots , a_9$ son dígitos distintos de cero que pueden repetir.
P3 OMM 1998. Octágono rojinegro
Cada uno de los lados y las diagonales de un octágono regular se pintan de rojo o de negro. Demuestre que hay al menos siete triángulos cuyos vértices son vértices del octágono y sus tres lados son del mismo color.
P2 OMM 1998. Rayos, ángulo, bisectriz, lugar geométrico...
Dos rayos $l,m$ parten de un mismo punto formando un ángulo $A$, y $P$ es un punto en $l$. Para cada circunferencia $C$, tangente a $l$ en $P$, que corte a $m$ en puntos $Q$ y $R$, $T$ es el punto donde la bisectriz del ángulo $QPR$ corta a $C$. Describe la figura geométrica que forman los puntos $T$. Justifica tu respuesta.
P1 OMM 1998. Números suertudos
Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que $1900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.
P6 OMM 1997. Un quinto más suma de fracciones
Pruebe que el número 1 se puede escribir de una infinidad de maneras distintas en la forma $$1 = \frac{1}{5} + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}$$ donde $ n $ y $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos y $5 <a_1< a_2 <\ldots <a_n$
