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Condiciones de coloreo de un tablero
Se deben colorear casillas de un tablero de $1001\times 1001$ de acuerdo a las reglas siguientes:
- Si dos casillas tienen un lado común, entonces al menos una de ellas se debe colorear.
- De cada seis casillas consecutivas de una fila o de una columna, siempre se deben colorear al menos dos de ellas que sean adyacentes.
Determinar el número mínimo de casillas que se deben colorear.
Ningún término es múltiplo de 2003
Se definen las sucesiones $(a_n)_{n\geq 0} , (b_n)_{n\geq 0}$ de la siguiente manera:
$$a_0 =1 , b_0 = 4$$ y, para toda $n\geq 0$, $$a_{n+1}=a_n^{2001}+b_n, b_{n+1}=b_n^{2001}+a_n$$ Demuestre que 2003 no divide a ninguno de los términos de estas sucesiones.
Triángulo en un cuadrado
En el cuadrado $ABCD$, sean $P$ y $Q$ puntos pertenecientes a los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, distintos de los extremos, tales que $BP=CQ$. Conside los puntos $X, Y$, con $X\neq Y$, pertenecientes a los segmentos $AP, AQ$, respectivamente. Demuestre que, cualesquiera que sean $X$ y $Y$, existe un triángulo cuyos lados tienen las longitudes de los segmentos $BX, XY$ y $DY$.
k-Subconjunto sin seis consecutivos
Sea $M =\{1,2,\ldots,49\}$ el conjunto de los primeros 49 enteros positivos. Determine el máximo entero $k$ tal que el conjunto $M$ tiene un subconjunto de $k$ elementos en el que no hay 6 números consecutivos. Para ese valor máximo de $k$, halle la cantidad de subconjuntos de $M$, de $k$ elementos, que tienen la propiedad mencionada.
Inferencias a partir de datos incompletos
Pablo estaba copiando el siguiente problema:
Considere todas las sucesiones de 2004 números reales $(x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{2003}),$ tales que \begin{eqnarray}
x_0 &=&1\\ 0\leq& x_1&\leq 2x_0,\\ 0\leq &x_2&\leq 2x_1,\\
&\vdots&\\ 0\leq &x_{2003}&\leq 2x_{2002}.\end{eqnarray}
Entre todas estas sucesiones, determine aquella para la cual la siguiente
expresión toma su mayor valor: $S =\ldots$.
Configuración con semicircunferencia
Sean $C$ y $D$ dos puntos de la semicircunferencia de diámetro $AB$ tales que $B$ y $C$ están en semiplanos distintos respecto de la recta $AD$. Denotemos con $M, N$ y $P$ los puntos medios de $AC, DB$ y $CD$, respectivamente. Sean $O_A$ y $O_B$ los circuncentros de los triángulos $ACP$ y $BDP$. Demuestre que las rectas $O_AO_B$ y $MN$ son paralelas.
Sucesiones de 2003 consecutivos
- (a) Se tienen dos sucesiones de números, con 2003 enteros consecutivos y una tabla de dos renglones y 2003 columnas. Decida si siempre es posible distribuir los números de la primera sucesión en el primer renglón y la segunda sucesión en el segundo renglón, de tal manera que la sucesión obtenida de las 2003 sumas por columna forman una nueva sucesión de 2003 enteros consecutivos.
- (b) Misma pregunta si hubiera 2004 columnas.
En ambos casos, si la respuesta es afirmativa, explique cómo se distribuirían los números, y si es negativa explicar por qué.
Policías y ladrones --en un tablero
Un policía intenta capturar a un ladrón en un tablero de $2001\times 2001$. Ellos juegan alternadamente y cada jugador, en su turno, debe moverse una casilla en uno de los tres siguientes sentidos:
($\downarrow$, abajo); ($\rightarrow$, derecha); ($\nwarrow$, diagonal arriba a la izquierda).
Si el policía se encuentra en la casilla de la esquina inferior derecha, puede usar su jugada para pasar directamente a la casilla de la esquina superior izquierda (el ladrón no puede hacer esta jugada). Inicialmente el policía está en la casilla central y el ladrón está en la casilla vecina diagonal superior derecha al policía. El policía comienza el juego. Demuestre que:
Un elemento de la sucesión es negativo
La sucesión de números reales $a_1, a_2,\ldots$ se define como sigue:
$a_1=50$ y $a_{n+1}=a_n-1/a_n$ para cada entero $n > 0$.
Demuestre que existe un entero $k$, $1 \leq k\leq 2002$, tal que $a_k < 0$.
Escaleno con bisectriz
En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$, y sea $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demuestre que $\angle{EMD} = \angle{DMF}$.
