Publicaciones Recientes

Problema

Desigualdad homogenea

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:20.

Sean $a, b, c$ números reales positivos que satisfacen $a+b+c = 1$.
Muestra que: $$\sqrt{a + bc} + \sqrt{b + ca} + \sqrt{c + ab}\leq 2.$$

Problema

Lugar geométrico equiangular

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:14.

Dado un triángulo equilátero $ABC$, encuentra todos los puntos $P$ del plano que cumplan $\angle{APB} = \angle{BPC}$.

Problema

Diez consecutivos son divisores --pero no 11

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 06:09.

Encuentra todos los enteros positivos $N$ con la siguiente propiedad: entre todos los divisores positivos de $N$, hay 10 números consecutivos, pero no 11.

Problema

La arista es el MCD de sus vértices

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:50.

En los vértices de un cubo están escritos 8 enteros positivos distintos, uno
en cada vértice. Y en cada una de las aristas está escrito el máximo común
divisor de los números que están en los 2 vértices que la forman. Sean $A$ la suma de los números escritos en las aristas y $V$ la suma de los números escritos en los vértices.

  • (a) Muestra que $\frac{2}{3}A\leq V$.
  • (b) ¿Es posible que $A = V$?
Problema

Juego de caballeros

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:40.

Los caballeros $C_1,C_2,\ldots,C_n$, del Rey Arturo, se sientan en una mesa
redonda de la siguiente manera:



El rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros. Iniciando con $C_1$, y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, los caballeros irán diciendo los números 1, 2, 3, luego 1, 2, 3, y así sucesivamente (cada caballero dice un número). Cada caballero que diga 2 ó 3 se levanta inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un solo caballero: el ganador.

Problema

Caballos en el tablero

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:25.

Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:

  1       2       3        4       5        6       7       8
  9     10     11     12     13     14     15     16
17     18     19     20     21     22     23     24

Problema

Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores

Enviado por jmd el 31 de Julio de 2010 - 05:12.

Sean $1=d_1 < d_2 < d_3 \cdots < d_k = n$ los divisores del entero positivo $ n $. Encuentra todos los números $ n $ tales que $n = d_2 ^ 2 + d_3^3$.

Noticia

Examenes de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas por fin en MaTeTaM

Enviado por vmp el 30 de Julio de 2010 - 10:55.

Como seguramente ya lo habrán notado. Hemos estado agregando todos los problemas de todos los exámenes de la OMM.

Ojalá se tomen el tiempo de resolverlos todos y nos compartan sus soluciones.

A continuación escribo las ligas a cada uno de los exámenes de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, desde 1987 a 2009 2010:

Problema

P6 OMM 2006. Problema con números surtidos

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:34.

Sea $n$ la suma de los dígitos de un entero positivo $A$. Decimos que $A$ es “surtido” si cada uno de los enteros $1,2,\ldots,n$ es suma de dígitos de $A$

  • Demuestra que si $1,2,\ldots,8$ son sumas de dígitos de un entero $A$ entonces $A$ es surtido.
  • Si $1,2,\ldots,7$ son sumas de dígitos de un entero $A$, ¿es $A$ necesariamente surtido?

Nota: El número 117 no es surtido pues sólo $1=1, 2 = 1+1, 7 = 7, 8 = 1 + 7, 9 = 1 + 1 + 7$ se pueden escribir como suma de dígitos de 117.
 

Problema

P5 OMM 2006. Altura de triángulo pedal

Enviado por jmd el 29 de Julio de 2010 - 07:30.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y, $AD, BE$ y $CF$ sus alturas. La circunferencia con diámetro $AD$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en $M$ y $N$, respectivamente. Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AD$ con $EF$ y $MN$, respectivamente. Demuestra que $Q$ es el punto medio de $PD$.

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