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Cuadrilátero cícliclo dentro de un cuadrilátero circunscrito
Sea ABCD un cuadrilátero para el cuál existen cuatro puntos P, Q, R y S sobre los lados AB, BC, CD y DA respectivamente y tales que PB=BQ, QC = CR, RD = DS y SA = AP. Demuestra que:
- a) El cuadrilátero ABCD es circunscrito
- b) El cuadrilátero PQRS es cíclico.
Problema 4 OIM 1997
Sea n un entero positivo. Consideremos la suma $x_1y_1 + x_2y_2 + \ldots + x_ny_n$, donde los valores que pueden tomar las variables $x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n$ son únicamente 0 y 1. Sea $I(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales el valor de la suma es un número impar y sea $P(n)$ el número de $2n$-adas $(x_1, x_2, \ldots, x_n, y_1, y_2, \ldots, y_n)$ para las cuales la suma toma valor par. Probar que
$$\frac{P(n)}{ I(n)}=\frac{2^n + 1}{2^n - 1}$$
IMO 2009, Problema 5
Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden
$$a, f(b) \textrm{ y } f(b + f(a) - 1)$$
(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).
P1. OMM 1988. Siete pelotas blancas y cinco negras
¿De cuántas formas se pueden acomodar en línea recta siete pelotas blancas y cinco negras, de tal manera que no estén dos pelotas negras juntas?
Argumentos básicos de conteo 4 (Combinaciones 2a parte)
Argumentos básicos de conteo 3 (Combinaciones)
Intro
En este post vamos a derivar la fórmula para las combinaciones de n objetos tomados de r en r. Así se decía antes, ahora se prefiere decir el número de subconjuntos de tamaño r tomados de un conjunto de tamaño n. De nuevo, aquí lo importante es el razonamiento combinatorio que da lugar a la fórmula.
IMO4_2009_invertido
Sean ABC un triángulo isósceles rectángulo en A, J su incentro y AD, BE las bisectrices de los ángulos A y B, respectivamente. La altura AD es tangente al incírculo del triángulo ADC (con incentro en I) en P y al lado CA en Q. Demostrar que:
Argumentos básicos de conteo 2 (r-listas)
Argumentos básicos de conteo
Con este post estoy inaugurando una sucesión que podría llegar hasta 20. La idea es la misma que la que usé con los GBC-teoremas, es decir, formular una serie de hechos básicos sobre el tema. En los teoremas de geometría básica del círculo me vi limitado por el formato de teorema y no añadí comentarios u otras ayudas didácticas. Es por eso que ahora, para los hechos básicos de combinatoria, elijo la entrada de blog para difundir es conocimiento básico, dada la flexibilidad de su formato.
Cambio de dígitos
Sean $a$ y $b$ enteros positivos de 8 dígitos cada uno, tales que al quitar cualquier dígito de $a$ (pero solo uno) y colocar el correspondiente en posición con $b$, se cumple que el número formado es divisible entre 7 (en cualquiera de los 8 posibles cambios). Demuestra que $b$ es divisible entre 7.
