Publicaciones Recientes
P8. OMM 1988. Esfera en octaedro
Calcule el volumen del octaedro que circunscribe a una esfera de radio 1.
P7. OMM 1988. Subconjuntos ajenos de {1,2,...,m}
Si A y B son subconjuntos ajenos del conjunto {1,2,…,m} y la suma de los elementos de A es igual a la suma de los elementos de B, pruebe que el número de elementos de A y también de B es menor que m/√2
P6. OMM 1988. Lugar geométrico del incentro
Considere dos puntos fijos B y C de una circunferencia W. Encuentre el lugar geométrico de las intersecciones de las bisectrices de los triángulos ABC, cuando A es un punto que recorre W.
P5. OMM 1988. Manipulación algebraica con el MCD
Si a y b son dos enteros positivos primos relativos y n es un entero, pruebe que el máximo común divisor de a2+b2−nab y a+b divide a n+2
P4. OMM 1988. Ocho enteros entre uno y ocho
¿Cuántas maneras hay de escoger ocho enteros a1,a2,a3,…,a8 no necesariamente distintos, tales que 1≤a1≤…≤a8≤8?
P3. OMM 1988. Área de triángulo de tangentes comunes
Considere dos circunferencias tangentes exteriormente y de radios distintos; sus tangentes comunes forman un triángulo. Calcule el área de dicho triángulo en términos de los radios de las circunferencias.
P2. OMM 1988. Expresiones equiresiduales (módulo 19)
Si a y b son enteros positivos, pruebe que 19 divide a 11a+2b si y sólo si 19 divide a 18a+5b
P8. OMM 1987. El último de la primera nacional (de geometría tridimensional)
- Tres rectas en el espacio l, m, n concurren en el punto S y un plano perpendicular a m corta a l, m, n en A, B y C respectivamente. Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45° y que el ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
- Si un plano perpendicular a l corta a l, m, n en P, Q y R respectivamente y si SP = 1, calcule los lados del triángulo PQR.
P7. OMM 1987. Problema clásico de cocientes de polinomios de la OMM
Demuestre que si n es un entero positivo, entonces n2+n−1n2+2n es una fracción irreducible (simplificada).
P6. OMM 1987. Divisibilidad clásico de la OMM
Demuestre que para cualquier entero positivo n, el número (n3−n)(58n+4+34n+2) es múltiplo de 3804.