Publicaciones Recientes
metodo chino del resto y ptf
Sea $f(n)=5n^{13}+13n^5+9an$. Encontrar el mínimo entero positivo$ a $ para el cual $f(n)$ es divisible entre $65$ para cada entero $ n $.
Desordenamientos
Desordenamientos (derangement)
Dentro de las aplicaciones del principio de inclusión-exclusión está el conteo de permutaciones con posiciones restringidas. Un caso especial de éstas son los desordenamientos, en los cuales se impone la restricción de que ningún elemento esté en su lugar original.
Recordemos que una permutación sobre $n$ elementos es una biyección $f:\{1,2,...,n\}\rightarrow\{1,2,...,n\}$. Un desordenamiento en combinatoria es una permutación en la cual ningún elemento está en su lugar. Formalmente, un desordenamiento es una biyección $f$ de un conjunto finito $S$ en sí mismo sin puntos fijos (para toda $s$ de $S, f(s)$ es diferente de $s$).
Entrenamiento el 19, en el CETis 109
El siguiente entrenamiento será en las instalaciones del CETis 109 los días 19, 20 y 21 de septiembre del año en curso. De la manera acostumbrada, el viernes 19 inicia a las 4pm y continua el sabado con el horario que acuerden con los entrenadores, etc. El entrenamiento estará a cargo de los jóvenes ex-olímpicos que el profesor Carlos Alcocer designe, y pues los temas sólo puedo sugerirlos: un tema básico que no se ha cubierto es el de combinatoria,...
Menelao en monterrey 97
En un triángulo ABC, P y P' son dos puntos sobre el lado BC, Q sobre CA y R sobre AB, de tal manera que AR/RB = BP/PC = CQ/QA = CP'/P'B. Sea G el centroide del triángulo ABC y K el punto de intersección de AP' con RQ. Demostrar que P, G y K son colineales.
Método del residuo chino
Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.) – Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.
Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.
Método del residuo chino para sistemas de congruencias
Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.)
– Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.
Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.
Solución
El problema se deja modelar con el sistema de congruencias siguiente:
$n=2(mod3)$
$n=3(mod4)$
$n=0(mod5)$
El cocinero chino: un problema diofantino
Resultados examen selectivo final. Tamaulipas 2008
Estos son los resultados del examen selectivo final que se llevó a cabo ayer sábado 6 de septiembre de 2008 en las instalaciones de la UAMCEH UAT.
¿Combinatoria biyectiva? OK, pero ¿cómo descubres la biyección?
Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):
Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?
Solución biyectiva ("descubierta" con el método regula falsi)
Sin restricciones serían $C(n,r)$. Pero algunos de esos subconjuntos tienen consecutivos. Sea $B = \{b_1,b_2,...,b_r\}$ un subconjunto de $S$ de tamaño $r$. Por ejemplo, si fuese $B = \{1,2,...,r\}$, lo podríamos convertir a $ \{1,3,5,...\}$ --que no tiene consecutivos--, lo cual equivale a dejar el primero igual, sumarle 1 al segundo, 2 al tercero, etc.Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):
Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?
Dos segmentos iguales
Se tiene un triángulo agudo; en el cual existen dos círculos con diámetros AB y BC. Sean los puntos E y F donde cortan dichos círculos al otro respectivo lado. Se construyen las rectas AE y CF y los puntos P y Q donde ellas cortan a los círculos
Demostrar que BQ = BP
