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IMO 2009: México en el lugar 50

Enviado por jmd el 22 de Julio de 2009 - 08:22.

Según los datos en el sitio http://imo-official.org/results.aspx, México se colocó en la L IMO en el lugar 50. El primer lugar lo ocupó China y el último (104) Argelia. La delegación mexicana obtuvo 74 puntos, la china 221  y la argelina 2.

Problema

Problema 5(N)

Enviado por jmd el 21 de Julio de 2009 - 11:00.

El alumno menos aventajado del salón canceló el 6 en 16/64 y obtuvo 1/4 --la respuesta correcta. Encontrar todos los pares de números de dos cifras ab, bc tales que ab/bc=a/c --con a,b,c dígitos diferentes. (Es decir, todos los casos en que este alumno podría acertar con su método al simplificar quebrados de dos cifras.)

Problema

IMO 2009 Problema 1

Enviado por Luis Brandon el 21 de Julio de 2009 - 10:42.

Sea $ n $ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto $ {1,...,n} $, tales que $ n $ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $ n $ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Problema

IMO 2009 Problema 2

Enviado por Luis Brandon el 20 de Julio de 2009 - 19:11.

Sean ABC un triángulo de circuncentro O, P y Q puntos sobre AB y AC, respectivamente, y K, L, M los puntos medios de BQ, CP y PQ, respectivamente. Si el circuncírculo del triangulo KLM es tangente a PQ, demostrar que OP=OQ.

Problema

IMO 2009 Problema 4

Enviado por Luis Brandon el 20 de Julio de 2009 - 09:44.

En un triángulo $ ABC $, donde $AB=AC$, los bisectrices internas de $\angle{A}$ y $\angle{B}$ cortan a los lados $ BC $ y $AC$ en $D$ y $E$, respectivamente. Sea $I$ el incentro del triángulo $ADC$. Supongamos que $\angle{IEB}=45$. Encontrar todos los valores posibles de $\angle{A}$.

Problema

Probar isósceles

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2009 - 19:15.

En una semicircuferenica de diámetro AB se elige un punto D y se baja una perpendicular al diámetro AB cortándolo en C. En el espacio descrito por DC, CB y el arco BD se inscribe un círculo tangente a CD en L, a BC en J y al arco BD en K. Demostrar que AD=AJ.

Problema

Encontrar el término n de una sucesión

Enviado por jmd el 19 de Julio de 2009 - 13:48.

Considere la sucesión $a_1=1$ y, para $ n $ mayor que 1, $a_n=1+2a_{n-1}.$ Encontrar una fórmula para el término n-ésimo y demostrarla por inducción.

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ONMAS, Colima 2008

Enviado por vmp el 19 de Julio de 2009 - 10:07.
 
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Saltillo 2007

Enviado por jesus el 18 de Julio de 2009 - 22:58.

Fotos de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas celebrada en saltillo de 2007. Por la selección de tamaulipas.

 
Problema

Potencia de un punto y circunferencias ortogonales

Enviado por jmd el 18 de Julio de 2009 - 07:19.

Sean dados una circunferencia c de radio r y centro O, y dos puntos M y M' tales que $OM\cdot OM'=r^2$ (i.e., inversos uno del otro respecto a c). Demostrar que cualquier circunferencia c' que pase por M y M' es ortogonal a c.

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