Problema 5(N)

Mediante la representación decimal se debería tener c(10a+b)=a(10b+c). Es decir, 10ac+bc=10ab+ac. En otras palabras, (9a+b)c=10ab. Cribaremos por divisibilidad entre 5.

De la ecuación (9a+b)c=10ab debería ser claro que tenemos dos casos: 5 divide a c o 5 divide a 9a+b.

Caso 1: 5 divide a c (es decir, c=5 dado que es dígito y no puede ser cero).

Se tiene entonces la ecuación 9a+b=2ab.

a                         b

1         9+b=2b    9               19/95=1/5
2       18+b=4b    6                26/65=2/5
3       27+b=6b    no
4       36+b=8b    no
5       45+b=10b  5               caso trivial
6       54+b=12b  no
7       63+b=14b  no
8       72+b=16b no
9       81+b=18b  no

Caso 2: 5 divide a 9a+b

a              9a+b          b
1               9+b           1 o 6    b=1 es trivial; si b=6,15c=60; c=4, 16/64
2             18+b           2 o 7                          si b=7, 25c=140 No
3             27+b           3 o 8                           si b=8, 35c=240 No
4             36+b            4 o 9                         si b=9, 45c=360;  c=8, 49/98
5             45+b            0 o 5  b no puede ser cero y el 5 es trivial    No
6              54+b           1 o 6                          si b=1, 55c=60  No
7             63+b            2 o 7                           si b=2, 65c=140
8             72+b            3 o 8                           si b=3, 75c=240
9             81+b             4 o 9                          si b=4, 65c=360  No

En resumen se tienen 4 casos: 19/95=1/5, 26/65=2/5, 16/64=1/4, 49/98=1/2. Y esa es la respuesta. (Es decir, en esos cuatro casos, el alumno menos aventajado obtendría el resultado correcto con su método de cancelación.)