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Grado de repulsión de una función circular
Una función $f: N \mapsto N$ es circular si para cada $p$ en $N$ existe $n$ en $N$ con $n\leq p$ tal que:
$$\underbrace{f^n(p) = f(f(\ldots f(p) \ldots )))}_{n veces}=p$$
La función $f$ tiene grado de repulsión $k$, $0 < k < 1$, si para cada $p$ en $N$, $f^i(p) \neq p$ para $i\leq [k\cdot p]$. Determine el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular. Nota: $[x]$ indica el mayor entero menor o igual que $x$.
... y se forma un trapecio isósceles...
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC, CA$ y $AB$ en $D, E$ y $F$, respectivamente. Suponga que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX = XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y en $Z$, respectivamente. Demuestre que $EY = FZ$.
Dominio eficiente de un tablero
En un tablero de $m\times m$ casillas se colocan fichas. Cada ficha colocada en el tablero "domina" todas las casillas de la fila (--), la columna (|) y la diagonal (\), a la que pertenece. Determine el menor número de fichas que deben colocarse para que queden "dominadas" todas las casillas del tablero. Nota: la ficha no "domina" la diagonal (/).
Perpendicular común a dos rectas en el espacio
Sean $r$ y $s$ dos rectas ortogonales y que no están en el mismo plano. Sea $AB$ su perpendicular común, donde $A$ pertenece a $r$ y $B$ a $s$. Se considera la esfera de diámetro $AB$. Los puntos $M$, de la recta $r$ y $N$, de la recta $s$, son variables, con la condición de que $MN$ sea tangente a la esfera en un punto $T$. Determine el lugar geométrico de $T$. Nota: el plano que contiene a $B$ y $r$ es perpendicular a $s$.
Condiciones extravagantes para n+1 números
Sea $n$ un número entero mayor que 1. Determine los números reales $x_1, x_2,\ldots, x_n\leq 1$ y $x_{n+1}>0$, que verifiquen las dos condiciones siguientes:
$$\sqrt{x_1}+\sqrt[3]{x_2}+\ldots+\sqrt[n-1]{x_n}=n\sqrt[2]{x_{n+1}}$$
$$\frac{x_1+x_2+ \ldots +x_n}{n}=x_{n+1}$$
Para entender la pregunta primero tienes que responderla
Determine los posibles valores de la suma de los digitos de todos los cuadrados perfectos.
Si le entiendes al enunciado obtienes un punto
Demostrar que todo número natural $n\leq 2^{1000000}$ puede ser obtenido a partir de 1 haciendo menos de 1100000 sumas; más precisamente: que hay una sucesión finita de números naturales $x_0, x_1,\ldots,x_k$, con $k < 1100000$, $x_0 = 1, x_k = n$ tal que para cada $i = 1, 2,\ldots, k$, existen $r, s$ con $0\leq r < i, 0 \leq s < i$, y $x_i = x_r + x_s$.
Eliges, sumas, y te vas...
Sean $n, r$ dos enteros positivos. Se desea construir $r$ subconjuntos $A_1, A_2,\ldots, A_r$ de $\{0, 1,\ldots, n-1\}$ cada uno de ellos con exactamente $k$ elementos y tales que, para cada entero $x$, $0\leq x \leq n-1$, existen $x_1$ en $A_1$, $x_2$ en $A_2$ ,... , $x_r$ en $A_r$ (un elemento en cada conjunto) con $x = x_1 + x_2\dots+ x_r$. Hallar el menor valor posible de $k$ en función de $n$ y $r$.
Transformación de acutángulo a equilátero (en el circuncírculo de aquél)
Se dan los puntos $A, B, C$ sobre una circunferencia $K$ de manera que el triángulo $ABC$ sea acutángulo. Sea $P$ un punto interior a $K$. Se trazan las rectas $AP, BP, CP$, que cortan de nuevo a la circunferencia en $X, Y, Z$. Determinar el punto $P$ que hace equilátero al triángulo $XYZ$.
Tablero lampareado
En cada casilla de un tablero $n\times n$ hay una lámpara. Al ser tocada una lámpara, cambian de estado ella misma y todas las lámparas situadas en la fila y la columna que ella determina (las que están encendidas se apagan y las apagadas se encienden). Inicialmente todas están apagadas. Demostrar que siempre es posible, con una sucesión adecuada de toques, lograr que todo el tablero quede encendido y encontrar, en función de $n$, el número mínimo de toques para que se enciendan todas las lámparas.
