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Familia de hexágonos convexos
Sea $F$ la familia de todos los hexágonos convexos $H$ que satisfacen las siguientes condiciones:
- (a) los lados opuestos de $H$ son paralelos;
- (b) tres vértices cualesquiera de $H$ se pueden cubrir con una franja de ancho 1.
Determinar el menor número real $l$ tal que cada uno de los hexágonos de la familia $F$ se puede cubrir con una franja de ancho $l$.
Nota: Una franja de ancho $l$ es la región del plano comprendida entre dos rectas paralelas que están a distancia $l$ (incluidas ambas rectas paralelas).
Números a-tres-vidos
Un número natural $n$ es atresvido si el conjunto de sus divisores, incluyendo al 1 y al n, se puede dividir en tres subconjuntos tales que la suma de los elementos de cada subconjunto es la misma en los tres. ¿Cuál es la menor cantidad de divisores que puede tener un número atresvido?
Saltos dragón en un tablero
En un tablero cuadriculado de tamaño $19\times 19$, una fiha llamada dragón da saltos de la siguiente manera: se desplaza 4 casillas en una dirección paralela a uno de los lados del tablero y 1 casilla en dirección perpendicular a la anterior.
Disputa por un territorio circular
Dos equipos, $A$ y $B$, disputan el territorio limitado por una circunferencia. $A$ tiene $n$ banderas azules y $B$ tiene $n$ banderas blancas ($n\geq 2$, fijo). Juegan alternadamente y $A$ comienza el juego.
Concéntrica al incírculo de ABC
Sean $ABC$ un triángulo con incentro $I$ y $\Gamma$ una circunferencia de centro $I$, de radio mayor al de la circunferencia inscrita y que no pasa por ninguno de los vértices. Sean $X_1$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $AB$ más cercano a $B$; $X_2$ y $X_3$ los puntos de intersección de $\Gamma$ con la recta $BC$ siendo $X_2$ más cercano a $B$; y $X_4$ el punto de intersección de $\Gamma$ con la recta $CA$ más cercano a $C$. Sea $K$ el punto de intersección de las rectas $X_1X_2$ y $X_3X_4$. Demostrar que $AK$ corta al segmento $X_2X_3$ en su punto medio.
Sucesión con primer entero en la posición 2007
Dado un entero positivo $m$, se define la sucesión $\{a_n\}_{n\geq 1}$ de la siguiente manera: $$a_1 = m/2,a_{n+1}=a_n\lceil a_n \rceil $$ Determinar todos los valores de $m$ para los cuales $a_{2007}$ es el primer entero que aparece en la sucesión.
Nota: Para un número real $x$ se define $\lceil x \rceil$ como el menor entero que es mayor o igual a $x$. Por ejemplo, $\lceil \pi \rceil = 4, \lceil 2007 \rceil = 2007$.
Vértice en la mediatriz
Sea $n\gt 1$ un entero impar. Sean $P_0$ y $P_1$ dos vértices consecutivos
de un polígono regular de $n$ lados. Para cada $k\geq 2$, se define $P_k$ como el vértice del polígono dado que se encuentra en la mediatriz de $P_{k-1}$ y $P_{k-2}$. Determine para qué valores de $n$ la sucesión $P_0, P_1, P_2,\ldots,$ recorre todos los vértices del polígono.
Circunferencia inscrita en un cuadrilátero
Dada una circunferencia $C$, considere un cuadrilátero $ABCD$ con sus cuatro lados tangentes a $C$, con $AD$ tangente a $C$ en $P$ y $CD$ tangente a $C$ en $Q$. Sean $X$ y $Y$ los puntos donde $BD$ corta a $C$, y $M$ el punto medio de $XY$ . Demuestre que $\angle{AMP} = \angle{CMQ}$.
Encontrar parejas --con dos restricciones
Determine todas las parejas $(a, b)$ de enteros positivos tales que $2a + 1$ y $2b - 1$ sean primos relativos y $a + b$ divida a $4ab + 1$.
Paseos de una ficha en un tablero
Los números $1,2,3,\ldots,n^2$ se colocan en las casillas de una cuadrícula de $n\times n$, en algún orden, un número por casilla. Una ficha se encuentra inicialmente en la casilla con el número $n^2$. En cada paso, la ficha puede avanzar a cualquiera de las casillas que comparten un lado con la casilla donde se encuentra. Primero, la ficha viaja a la casilla con el número 1, y para ello toma uno de los caminos más cortos (con menos pasos) entre la casilla con el número $n^2$ y la casilla con el número 1.
