Publicaciones Recientes
IMO 2009 Problema 2
Sean ABC un triángulo de circuncentro O, P y Q puntos sobre AB y AC, respectivamente, y K, L, M los puntos medios de BQ, CP y PQ, respectivamente. Si el circuncírculo del triangulo KLM es tangente a PQ, demostrar que OP=OQ.
IMO 2009 Problema 4
En un triángulo ABC, donde AB=AC, los bisectrices internas de ∠A y ∠B cortan a los lados BC y AC en D y E, respectivamente. Sea I el incentro del triángulo ADC. Supongamos que ∠IEB=45. Encontrar todos los valores posibles de ∠A.
Probar isósceles
En una semicircuferenica de diámetro AB se elige un punto D y se baja una perpendicular al diámetro AB cortándolo en C. En el espacio descrito por DC, CB y el arco BD se inscribe un círculo tangente a CD en L, a BC en J y al arco BD en K. Demostrar que AD=AJ.
Encontrar el término n de una sucesión
Considere la sucesión a1=1 y, para n mayor que 1, an=1+2an−1. Encontrar una fórmula para el término n-ésimo y demostrarla por inducción.
Saltillo 2007
Fotos de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas celebrada en saltillo de 2007. Por la selección de tamaulipas.
Potencia de un punto y circunferencias ortogonales
Sean dados una circunferencia c de radio r y centro O, y dos puntos M y M' tales que OM⋅OM′=r2 (i.e., inversos uno del otro respecto a c). Demostrar que cualquier circunferencia c' que pase por M y M' es ortogonal a c.
Condición necesaria y suficiente para cíclicos
Sea PQRS un cuadrilátero tal que sus lados opuestos PR y QS se cortan en un punto T. Demostrar que PQRS es cuadrilátero cíclico si y sólo si TR⋅TP=TS⋅TQ.
El lugar geométrico de la reflexión de un punto
Sean P un punto en el interior de una circunferencia C y M un punto sobre C. Definamos N el punto sobre C tal que el ángulo ∡MPN=90∘ (en sentido contrario de las manecillas del reloj). Llamemos P′ el punto que resulta de reflejar P con respecto a MN.
Construcción de una circunferencia ortogonal
Sea dada una circunferencia c. Demostrar que el siguiente procedimiento produce una circunferencia ortogonal a c con centro en un punto P fuera de c.
1) Trazamos las tangentes a c desde P ubicando los puntos de tangencia T y T′.
2) Trazamos la circunferencia con centro en P y radio PT. Esta es la circunferencia ortogonal pedida.
