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Ejercicio en congruencia de triángulos
Dado el triángulo isósceles $ABC$, con $AB=AC$,sean $D$ un punto en $AB$ y $E$ otro punto en la extensión de $AC$ de tal manera que $BD=CE$. Si $G$ es el punto de intersección de $DE$ con $BC$, demostrar que $DG=GE$.
¿Conectar datos a conclusión? ¡Línea media!
Sea $D$ un punto en el lado $CA$ del triángulo $ABC$ de tal manera que $AB=CD$. Si $E,F$ son puntos medios de $AD,BC$, respectivamente, y $M$ es la intersección de de $AB$ y $FE$, demostrar que $AM=AE$.
Ejercicio con línea media
En un triángulo $ABC$, sean $D$ el punto medio de $AB$ y $E$ un punto de $AC$ de tal manera que $AE=2EC$. Si $F$ es la intersección de $BE$ y $CD$, demostrar que $BE=4EF$
Ejercicio con puntos medios
Sean $CBD$ un triángulo y $A$ un punto en la prolongación del lado $BC$ con $C$ entre $A$ y $B$. Sean $M,N,P$ los puntos medios de los segmentos $AB,CD,DB$, respectivamente. Demostrar que si $Q$ es el punto medio de $MN$ y $E$ es el punto de intersección de $PQ$ y $AB$, entonces $E$ es el punto medio de $AC$.
Inicia proceso de selección OMM Tamaulipas 2012
Tarde pero sin sueño --como dicen en Viento Libre--, el proceso de selección de la OMM en Tamaulipas inicia en este mes de septiembre. Así que se les notifica (de manera extraoficial) a todos los adolescentes interesados en las matemáticas de Tamaulipas para que se preparen para la etapa municipal. El calendario es el siguiente:
IMO 2012 --los problemas de geometría
En los problemas de la IMO, la dificultad para un aficionado a las matemáticas de concurso (como el que esto escribe) no es el resolverlos (esa es casi una imposibilidad) sino el entender las soluciones publicadas. Voy a comentar en este post las soluciones de los problemas 1 y 5 de la 53 International Mathematical Olympiad (2012) que se celebró en Mar del Plata (Argentina) del 4 al 16 de julio.
Para el problema 1 me faltaba un teorema, para el 5 el plan de solución. Es decir, para el 5 la solución publicada la podía seguir, pero me quedaba la incógnita de por qué o cómo esa ruta de solución era la correcta o por qué.
ORO para México --en la IMO 2012
Felicidades para la delegación mexicana. Y obviamente para Diego.
Los saluda
jmd
IMO 2012 (día 2)
4. Hallar todas las funciones $f:Z\rightarrow Z$ que cumplen la siguiente igualdad:
$$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).$$
para todos los enteros $a,b,c$ que satisfacen $a+b+c=0$
($Z$ denota el conjunto de los números enteros.)
5. Sea $ABC$ un triángulo tal que $\angle{BCA}=90$, y sea $D$ el pie de la altura desde $C$. Sea $X$ un punto interior del segmento $CD$. Sea $K$ el punto del segmento $AX$ tal que $BK=BC$. Análogamente, sea $L$ el punto del segmento $BX$ tal que $AL=AC$. Sea $M$ el punto de intersección de $AL$ y $BK$. Demostrar que $MK=ML$
6. Hallar todos los enteros positivos $n$ para los cuales existen enteros no negativos $a_1,a_2\ldots,a_n$ tales que
Los problemas de la IMO 2012 (primer día) --Mar del Plata, Arg.
1. Dado el triángulo $ABC$, el punto $J$ es el centro del excírculo opuesto al vértice $A$. Este excírculo es tangente al lado $BC$ en $M$, y a las rectas $AB$ y $AC$ en $K$ y $L$, respectivamente. Las rectas $LM$ y $BJ$ se intersecan en $F$, y las rectas $KM$ y $CJ$ se intersecan en $G$. Sea $S$ el punto de intersección de las rectas $AF$ y $BC$. Demostrar que $M$ es el punto medio de $ST$.
2. Si los reales positivos $a_2,a_3,\ldots, a_n$ satisfacen $a_2\cdot a_3 \cdots a_n=1$, demostrar que
$$(a_2+1)^2(a_3+1)^3\cdots(a_n+1)^n \gt n^n$$
3. El juego de la adivinanza del mentiroso es un juego para dos jugadores $A,B$. Las reglas del juego dependen de dos enteros positivos $k,n$, los cuales son conocidos para ambos jugadores.
Discusión sobre un problema de geometría
En este post voy a tratar de ilustrar, a través de un problema de geometría, la tesis de que la competencia experta en el problem solving requiere de una combinación de técnicas y conocimiento conceptual (de competencias conceptuales pero también procedimentales).
Un problema no trivial de geometría
Tomando como base la diagonal $AC$ de un cuadrado $ABCD$, se construye un rectángulo $ACEF$ de altura el lado del cuadrado y con $D$ dentro de él.
Si $H$ es el punto medio de $EF$ y $G$ es la intersección de $AE$ con $CH$, demostrar que
