Publicaciones Recientes
P8. OMM 1987. El último de la primera nacional (de geometría tridimensional)
- Tres rectas en el espacio l, m, n concurren en el punto S y un plano perpendicular a m corta a l, m, n en A, B y C respectivamente. Suponga que los ángulos ASB y BSC son de 45° y que el ángulo ABC es recto. Calcule el ángulo ASC.
- Si un plano perpendicular a l corta a l, m, n en P, Q y R respectivamente y si SP = 1, calcule los lados del triángulo PQR.
P7. OMM 1987. Problema clásico de cocientes de polinomios de la OMM
Demuestre que si $n$ es un entero positivo, entonces $$\frac{n^2 + n -1}{n^2 + 2n}$$ es una fracción irreducible (simplificada).
P6. OMM 1987. Divisibilidad clásico de la OMM
Demuestre que para cualquier entero positivo $n$, el número $(n^3-n)(5^{8n+4}+3^{4n+2})$ es múltiplo de 3804.
P5. OMM 1987. Triángulo rectángulo y tres área iguales imposibles
Considere un triángulo rectángulo ABC donde la hipotenusa es BC. M un punto en BC; P y Q las proyecciones de M en AB y BC, respectivamente. Pruebe que, para ninguno de tales puntos M, son iguales las áreas de BPM, MQC y AQMP (las tres al mismo tiempo).
P4. OMM 1987. Producto de enteros menores que 100 y con tres divisores
Calcule el producto de todos los enteros positivos menores que 100, y que tengan exactamente tres divisores positivos. Compruebe que dicho número es un cuadrado perfecto.
P3. OMM 1987. Lugar geométrico de la proyección de un punto
Considere dos rectas $\ell$ y $\ell'$ y un punto fijo P que diste lo mismo de $\ell$, que de $\ell'$. ¿Qué lugar geométrico describen los puntos M que son proyección de P sobre AB, donde A está en $\ell$, B está en $\ell'$, y el ángulo APB es recto.
P2. OMM 1987. Divisores de 20 factorial
¿Cuántos enteros positivos dividen a 20! ? (20! = 1×2×3×· · ·×19×20).
Sentido de la estructura algebraica
En el paper Developing Katy's Algebraic Structure Sense, Hoch y Dreyfus, los autores de este reporte de investigación, someten a prueba empírica un método de enseñanza individualizada de las matemáticas que podríamos llamar "entrevistas didácticas" (teaching interviews).
Los autores usan las entrevistas didácticas para mejorar el desempeño en matemáticas de adolescentes que, si bien son buenos en la manipulación algebraica, no han adquirido el "sentido de la estructura". Eligieron para ilustrar los resultados a Katy, una adolescente de 16 años.
Circunferencias inscritas en ángulo e isósceles
Dos circunferencias están inscritas entre los lados de un triángulo isósceles $ABC$ (con $AB=AC$) y los de un ángulo, uno de los cuales pasa por A y el otro incluye la base $BC$ del isósceles. Encontrar la relación entre la altura de $A$ respecto a la base $BC$ y los radios de las circunferencias.
Círculos internamente tangentes
Sean $\Gamma$ y $\Gamma_1$ dos círculos tangentes internamente en $A$ y con centros $O$ y $O_1$, respectivamente. Sea $B$ el punto en $\Gamma$ diametralmente opuesto al punto $A$, y $C$ un punto en $\Gamma$ tal que $BC$ es tangente a $\Gamma_1$ en $P$. Sea $A'$ el punto medio de $BC$. Suponiendo que $O_1A'$ es paralela a $AP$, calcular la razón $r/r_1$.
