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Juego de caballeros
Los caballeros C1,C2,…,Cn, del Rey Arturo, se sientan en una mesa
redonda de la siguiente manera:
El rey decide realizar un juego para premiar a uno de sus caballeros. Iniciando con C1, y avanzando en el sentido de las manecillas del reloj, los caballeros irán diciendo los números 1, 2, 3, luego 1, 2, 3, y así sucesivamente (cada caballero dice un número). Cada caballero que diga 2 ó 3 se levanta inmediatamente y el juego continúa hasta que queda un solo caballero: el ganador.
Caballos en el tablero
Considera un tablero de ajedrez. Los números del 1 al 64 se escriben en las casillas del tablero como en la figura:
1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
Expresado como suma de potencias --de sus primeros dos divisores
Sean 1=d1<d2<d3⋯<dk=n los divisores del entero positivo n. Encuentra todos los números n tales que n=d22+d33.
Examenes de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas por fin en MaTeTaM
Como seguramente ya lo habrán notado. Hemos estado agregando todos los problemas de todos los exámenes de la OMM.
Ojalá se tomen el tiempo de resolverlos todos y nos compartan sus soluciones.
A continuación escribo las ligas a cada uno de los exámenes de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, desde 1987 a 2009 2010:
P6 OMM 2006. Problema con números surtidos
Sea n la suma de los dígitos de un entero positivo A. Decimos que A es “surtido” si cada uno de los enteros 1,2,…,n es suma de dígitos de A
- Demuestra que si 1,2,…,8 son sumas de dígitos de un entero A entonces A es surtido.
- Si 1,2,…,7 son sumas de dígitos de un entero A, ¿es A necesariamente surtido?
Nota: El número 117 no es surtido pues sólo 1=1,2=1+1,7=7,8=1+7,9=1+1+7 se pueden escribir como suma de dígitos de 117.
P5 OMM 2006. Altura de triángulo pedal
Sean ABC un triángulo acutángulo y, AD,BE y CF sus alturas. La circunferencia con diámetro AD corta a los lados AB y AC en M y N, respectivamente. Sean P y Q los puntos de intersección de AD con EF y MN, respectivamente. Demuestra que Q es el punto medio de PD.
P3 OMM 2006. Números 1..2n en cuadrícula 2Xn
Sea n un número entero mayor que 1. ¿De cuántas formas se pueden acomodar todos los números 1,2,…,2n en las casillas de una cuadrícula de 2×n, uno en cada casilla, de manera que cualesquiera dos números consecutivos se encuentren en casillas que comparten un lado de la cuadrícula?
P2 OMM 2006. Semejantes si y sólo si ángulo de 60
Sea ABC un triángulo rectángulo con ángulo recto en A, tal que AB<AC. Sea M el punto medio de BC y D la intersección de AC con la perpendicular a BC que pasa por M. Sea E la intersección de la paralela a AC que pasa por M con la perpendicular a BD que pasa por B. Demuestra que los triángulos AEM y MCA son semejantes si y sólo si ∠ABC=60°.
P1 OMM 2006. Los parientes de un número son sus múltiplos
Sea ab un número de dos dígitos. Un entero positivo n es “pariente” de ab si:
- El dígito de las unidades de n también es b.
- Los otros dígitos de n son distintos de cero y suman a.
Por ejemplo, los parientes de 31 son 31, 121, 211 y 1111. Encuentra todos los números de dos dígitos que dividen a todos sus parientes .
P6 OMM 2005. Un punto en la paralela a la bisectriz
Sea ABC un triángulo y AD la bisectriz del ángulo ∠BAC, con D sobre BC. Sea E un punto sobre el segmento BC tal que BD=EC. Por E traza la recta l paralela a AD y considera un punto P sobre l y dentro del triángulo. Sea G el punto donde la recta BP corta al lado AC y sea F el punto donde la recta CP corta al lado AB. Muestra que BF=CG)
