Prepárate para el Estatal con MaTeTaM (Geometria)

Siguiendo con esta serie de posts dejaré los temas importantes para el estatal, en este caso para geometria.  También una lista de problemas (listageometria2016) y algunos entrenamientos, se da por sentado el tema de áreas, la lista incluye unos pocos problemas de esto pero son retadores.

No es cien por ciento necesario que aprendan a hacer demostraciones aún pero algunos problemas de geometria solo se pueden aprender si se conocen las demostraciones de algunos resultados y en que instancias se usan.

1. Ángulos entre paralelas. Hacer problemas del entrenamiento adjunto.

2. Geometría en el triángulo Es importante conocer algunas propiedades básicas de los triángulos isoceles y rectángulos. Además de congruencia y semejanza de triángulos. Los teoremas importantes en esta parte serán el teorema de pitágoras, teorema de pitágoras y linea media, pongo las ligas necesarias para estos teoremas, el libro escrito aquí en MaTeTaM para el tema de congruencias y semejanzas. 

Un ejemplo que solo necesitan estos primeros dos temas:

Sea $ABC$ un triángulo isóceles con $AB = AC$, D un punto en $AC$ tal que $ \angle ABD = \angle DBC$. Sí $BD + AD = BC$. ¿Cuánto mide el ángulo en A?

La figura:

 Llamemos a los ángulos en A y B, como $2\beta$ y $2\alpha$ respectivamente, (como en la figura). Los puntos $E,F,G$ cumplen:

• DE = AD.
• DF es paralela a EC.
• GD es paralela a BC.

La demostración descansa en demostrar que $ \Delta GAD \equiv \Delta DFC$. Esto se hace por criterio LAL de congruencia.

1. Primero probaremos que $CF = AD$.  

Por construcción BE = BC, ya que BC = BD + AD = BD + DE = BE. Entonces $ \Delta EBC$ es isóceles. Tenemos las siguientes igualdades de ángulos: $$ \angle BDF = \angle BEC = \angle BCF = \angle BFD $$ esto por que DF y CE son paralelas además que los ángulos en la base de $\Delta EBC$ son iguales, al ser este isoceles. Como $ \angle BFD = \angle BDF$ entonces $BF = BD$, de aquí es fácil ver que $FC = DE$ con un mismo razonamiento de puede probrar que $BG=DC$ esto lo usaremos después. Entonces CF = DE = AD, como queriamos.

2. Ahora veremos que $DC = GD$ 

Como $ \angle CBD = \angle BDG = \alpha $ también $ \angle GBD = \alpha$ asi que al tener ángulo iguales en su base $\Delta BGC$ es isóceles con $BG = GD$ en 1. dijimos que $ BG = DC$ entonces $DC = GD$.

3. $\angle BCD = \angle GDA$ es obvio, ya que GD y BC son paralelas.

De 1, 2 y 3 podemos ver que por criterio LAL de congruencia $ \Delta GAC \equiv \Delta DFC$ entonces $\angle DFC = \angle GAC = 2\beta$.

Ahora usaremos un pequeño truco, que es encontrar $\angle DFC$ de otra manera, notemos que este es suplemento de $\angle BFC$ pero este mide $ 90° - \frac{\alpha}{2}$  ya que es isóceles DFB. Así que $ \angle DFC = 90 + \frac{\alpha}{2}$  De este modo: $$ 90 + \frac{\alpha}{2} = 2\beta$$  y teniendo en cuenta que los ángulos internos de un triángulo suman 180. Es posible hacer un sistema de ecuaciones y llegar a que $ 2\beta = 100°$ 

Qué bonito problema, con razón la geometria es mi favorita.

Para aplicaciones del teorema de pitagoras y linea media, hay ver que la lista de problemas y los entrenamientos además de las ligas. Ya solo falta un tema:

Ángulos en círculos. También les dejo la recopilación de teoremas basicos en el círculo. Hay que ponerles mucha atención y tratar de saber cuales aplicar en los ejercicios de la lista, espero no haberme pasado con el nivel. Cualquier comentario sobre los problemas se los agradeceria.

Teorema de linea media.

http://www.matetam.com/de-consulta/books/geometria-basica-principiantes/...

Congruencia de triángulos

http://www.matetam.com/de-consulta/books/geometria-basica-principiantes/...

Geometria del círculo

http://www.matetam.com/de-consulta/books/teoremas-basicos-geometria/teor...

Saludos 

germán

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