Discusión sobre las coordenadas de un punto

Voy a plantear en este post la solución a un problema de lugar geométrico (creo que es de un nacional de la OMM). Implícitamente vuelvo sobre la comparación de las técnicas analíticas y las soluciones sintéticas que he abordado en otros posts.

El problema en un contexto narrativo

En noviembre del año pasado, mientras esperaba a mi esposa que hacía fila para obtener la visa en Matamoros, me tomé un café en una pequeña fonda que está al lado del Consulado. Para no aburrirme estuve tratando de resolver un problema de lugar geométrico del cual me acordaba. Estaba en una mesa a la entrada de la fonda, el clima era agradable, el café también --así que esperaba que la inspiración llegara.

Pero lo que llegó fue otro cliente. Y así de golpe nomás  el hombre me preguntó: "¿matemático?" Y sin darme tiempo a nada continuó diciendo: "Tengo un amigo que también hace cálculos así como usted los está haciendo. Y también sabe calcular la distancia al Sol. Una vez estábamos en la cantina y llegó otro amigo y le dijo: calcula la distancia al Sol pero desde aquí desde esta mesa. Y entonces mi amigo el matemático le pregunta: ¿desde aquí donde yo estoy o desde donde estás tú?"

Ese día ya no resolví el problema porque me puse a platicar con ese cliente y con el dueño de la fonda --de esto y de lo otro. Tengo asociado también con ese problema el recuerdo de otro detalle de la conversación. Le digo al dueño: "Está bien ubicada la fonda, aquí al lado del Consulado... debe tener muchos clientes... mire cómo está de larga la fila... Y me contestó: "Pues eso es muy relativo, pues vienen cada 10 años."

El problema y su solución analítica

En estos días me encontré con los apuntes que había hecho esa vez en la fonda de Matamoros y lo resolví con geometría analítica --pues en ese rato no encontré el trazo auxiliar que hace el truco. Comparto la solución con los lectores de MaTeTaM en la forma de una secuencia de tareas --para no arruinarles la fiesta de su resolución.

Al final sugiero un trazo auxiliar para la solución sintética y añado tareas adicionales para llegar a la demostración. El enunciado del problema es el siguiente (las preguntas están en las tareas).

Equidistante a dos rectas paralelas $l$ y $l'$ se encuentra un punto $P$ fijo. La perpendicular a las dos rectas por $P$ corta a $l$ en $Q$ y a $l'$ en $R$. Un punto $A$ se mueve sobre la recta $l$ y un punto $B$ sobre la recta $l'$ es tal que $APB$ forma un triángulo rectángulo en $P$. Sea $M$ el pie de la altura asociada a la hipotenusa $AB$ del triángulo $ABP$.

Tarea 1: Elegir un origen y unos ejes de coordenadas adecuados y calcular las coordenadas de $B$ en términos de las de $A$

Tarea 2: Calcular la ecuación de la recta $AB$

Tarea 3: Calcular las coordenadas de $M$ en términos de las de $A$

Tarea 4: Calcular la distancia $PM$

Tarea 5: Interpretar el resultado de la tarea 4 (¿cuál es el lugar geométrico de $M$ al moverse $A$ sobre $l$?)

Tarea 6: ¿Qué pasa si $A$ está arbitrariamente cercano a $Q$ ($A$ tiende a $Q$ sobre $l$)?

Tarea 7: ¿Y si $A$ se aleja arbitrariamente de $Q$ ($A$ se va al infinito sobre $l$)?

La solución sintética

Experimentando con varias posiciones de $A$ y observando que el cuadrilátero $AQPM$ parece un papalote (kite), se puede conjeturar que el lugar geométrico buscado es una circunferencia (o, equivalentemente, que $PM=PQ$ sin importar la posición de $A$ sobre $l$). Queremos demostrar entonces que $PM=PQ$. Una forma de hacerlo es la siguiente. Prolongando $BP$ hasta cortar en $B'$ a $l$, se forma el triángulo rectángulo $BQB'$.

Tarea 8: Demostrar que el triángulo $BQB'$ es congruente con el $PQB$.

Tarea 9: Demostrar que $B'PA$ es congruente con $BPA$.

Tarea 10: Concluir (con argumento válido) que $PQ=PM$

Tarea 11: ¿Qué pasa si $A$ tiende a $Q$? ¿Y si $A$ tiende a infinito?

Tarea 12: Precisar el lugar geométrico de $M$ al mover $A$ sobre $l$

Tarea 13: (Punto fino de la demostración) Demostrar que si $M$ es un punto distinto de $Q,R$ que cumple con $PM=PQ$ entonces se pueden localizar $A,B$ sobre $l,l'$, respectivamente, de tal manera que $APB$ es triángulo rectángulo en $P$ y $M$ es pie de la altura a la hipotenusa $AB$.

Los saluda
jmd

PD: Una sugerencia para los novicios es que se elija el origen en $P$ y el eje de ordenadas como la recta $QR$. Los cálculos se simplifican si, tomando una escala adecuada, se fijen las coordenadas de $Q$ como $(0,1)$. Las de $A$ entonces serían $(\lambda,1)$.

PD2: El problema es un caso particular de uno de la primera Olimpiada Mexicana de Matemáticas (1987).