¡Tienes que ver la conexión!

En este post voy a comentar sobre una estrategia del problem solving de concurso que podríamos llamar ¡Tienes que ver la conexión!. Lo haré a través de dos ejemplos clásicos y relativamente bien conocidos en los círculos de la olimpiada de matemáticas.

Problema 1: Si la suma de dos números es 2 y su producto es 3 ¿cuál es la suma de sus recíprocos?

Solución

El problema admite el modelo
$$a+b=2$$
$$ab=3$$

Encontrar $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$

Pero $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{2}{3}$$

Y ya acabamos.

Comentario

Notemos que la pregunta no obliga a primero obtener los números $a,b$ para después calcular la suma de sus recíprocos. Aunque también se puede hacer, ese procedimiento complica la solución --a pesar de que es el método más directo. Pues implica pasar por los complejos para después regresar a los reales. Véase:

Si se saben las fórmulas de Vieta o simplemente por sustitución, los números buscados son las raíces de la cuadrática $a^2-2a+3=0$. Pero sucede que esas raíces son (aplicando la fórmula general) $a=1\pm{i\sqrt{2}}$. ¿Y ahora? ¿Cómo se juega esto? Bueno, se juega con las reglas de los números complejos. ¡Créanme que la suma de los recíprocos de las dos raíces complejas sí es 2/3!

Comentario 2

La dificultad de ver la solución o buscar la solución estilo olimpiada (llamémosle así a falta de un mejor nombre) es poder conectar el modelo de los datos ($a+b=2,ab=3$) con el modelo de la pregunta ($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$). Porque no es totalmente evidente que la pregunta se pueda modelar como $\frac{a+b}{ab}$.

Moraleja: Trata de modelar simbólicamente la pregunta y busca la conexión con el modelo de los datos. (¿Qué es lo que me están pidiendo? ¿Cuál es la relación de eso que me piden con los datos?)

Problema 2: En el triángulo $ABC$, $E$ y $D$ son puntos interiores de los lados $AC$ y $BC$, respectivamente. $AF$ es bisectriz  del $\angle{CAD}$ y $BF$ es bisectriz del $\angle{CBE}$. ($F$ es la intersección de las dos bisectrices.) Demostrar que $\angle{AEB}+\angle{ADB}=2\angle{AFB}$

Solución

Llamemos $x$ a los dos ángulos iguales formados por la bisectriz de $\angle{CAD}$ y denotemos con $y$ a los formados por la bisectriz de $\angle{CBE}$.

Es fácil ver que $\angle{AEB}$ es exterior del triángulo $EBC$ y que $\angle{ADB}$ lo es del triángulo $CAD$. De ahí que $\angle{ADB}=2x+\angle{C}$ y $\angle{AEB}=2y+\angle{C}$. Entonces su suma es $2x+2y+2\angle{C}$.

Hasta aquí el razonamiento fluyó sin problemas. Pero falta el otro lado de la ecuación. Y aquí es donde debemos preguntarnos ¿cuál es la conexión? ¿cómo paso del lado izquierdo al lado derecho?

En el proceso de búsqueda, podemos llevarnos un buen rato --pues la conexión no es directa. Y, sin embargo, si confiamos en que el resultado es cierto entonces esa conexión existe.

Tarde o temprano (si somos persistentes) llegaremos a ver que si prolongamos $AF$ hasta $A'$ en $CB$ y $BF$ hasta $B'$ en $AC$  entonces se hará evidente que el ángulo $\angle{C}$ (que aparece en el lado derecho de la ecuación) es exterior en los dos triángulos $AFB'$ y $BFA'$. Pero el ángulo en $B'$ es a su vez exterior en el triángulo $BB'C$ y el ángulo en $A'$ es exterior en el triángulo $AA'C$. Haciendo las cuentas se llega al resultado (el lado derecho de la ecuación que queríamos demostrar).

Comentario

Notemos que el ángulo $F$ está aislado y, en consecuencia, "pide" una conexión con el resto de la configuración. La manera más fácil de conectarlo es prolongando $AF$ y $BF$ hasta cortar, respectivamente, los lados $BC$ y $CA$. Ello permite usar los datos y, aunque la conexión entre los dos lados de la ecuación todavía no se hace evidente, la necesidad de usar el ángulo $C$ nos llevará rápido a la solución.

Los saluda
jmd

PD: El lector debería bosquejar la figura para orientarse en el argumento presentado en el problema 2.