Una compañía de n soldados es tal que:
– n es un número capicúa. (Se lee igual al derecho y al revés. Ejemplo:15651, 9436349.)
– Si los soldados se forman de 3 en 3, quedan 2 soldados en la última fila; de 4 en 4, quedan 3 soldados en la última fila; de 5 en 5, quedan 5 soldados en la última fila.

Hallar el menor n que cumple las condiciones y demostrar que hay una infinidad de valores n que las satisfacen.

Solución

El problema se deja modelar con el sistema de congruencias siguiente:

$n=2(mod3)$
$n=3(mod4)$
$n=0(mod5)$

El enunciado del siguiente problema es clásico. El problema se denomina "el cocinero chino". Se usa para ilustrar el teorema chino del residuo.

Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

Solución biyectiva ("descubierta" con el método regula falsi)

Sin restricciones serían $C(n,r)$. Pero algunos de esos subconjuntos tienen consecutivos. Sea $B = \{b_1,b_2,...,b_r\}$ un subconjunto de $S$ de tamaño $r$. Por ejemplo, si fuese $B = \{1,2,...,r\}$, lo podríamos convertir a $ \{1,3,5,...\}$ --que no tiene consecutivos--, lo cual equivale a dejar el primero igual, sumarle 1 al segundo, 2 al tercero, etc.Regresemos al problema del post anterior (subconjuntos sin consecutivos):

Sea $S =\{1,2,...,n\}$. ¿De cuántas formas se puede elegir un subconjunto de tamaño $r$ y sin consecutivos?

Se tienen 7 bolas blancas y 5 negras. ¿De cuántas formas se pueden colocar las 12 en hilera sin que haya dos negras juntas?

Solución

Coloco las 5 negras. Utilizo 4 blancas para separarlas. Me quedan 3 blancas. ¿Dónde las pongo? Es decir ¿cuántas formas hay de colocarlas en la hilera de las ya colocadas? Este problema es difícil a pesar de su aparente simplicidad. Una forma de responder a la pregunta es separar en casos: coloco las tres en lugares diferentes, coloco dos juntas en un lugar y la otra en otro lugar y, finalmente, las coloco las tres en un solo lugar.

Como se sabe, el número de elementos del producto cartesiano de dos conjuntos finitos es el producto de las cardinalidades de los conjuntos. Pero aquí vamos a exhibir una demostración de ese hecho aplicando una prueba biyectiva de $|A \times B| = |A| |B|$.

Para demostrarlo vamos a definir una función entre el producto cartesiano $A\times B$ y el conjunto de enteros $S = \{0, 1, ..., |A||B| - 1\}$.

En este post voy a definir el problema de lugar geométrico denominado arco capaz y a discutir el procedimiento de su construcción.

El problema y su procedimiento de construcción

En el problema de lugar geométrico denominado arco capaz, se da un segmento $AB$ y un ángulo $\lambda$. Se pide describir el lugar geométrico de los puntos en el plano, desde los que el segmento $AB$ se ve desde un ángulo $\lambda$.

Para quienes tienen prisa, el procedimiento de construcción es el siguiente:

Invariantes

(Adaptado  de http://boumbo.toonywood.org/xavier/old/maths/stmalo/base-cours.pdf )

Se tiene un conjunto de configuraciones (por ejemplo, estados o posiciones en un juego). A una configuración inicial se le aplica una transformación (una jugada) sujeta a ciertas reglas (las reglas del juego) y sobre la configuración resultante se aplica otra transformación de acuerdo a las mismas reglas (el juego sigue). Se pide decidir si una cierta configuración puede o no obtenerse mediante transformaciones válidas partiendo de una configuración inicial.

Cuadrados perfectos

Teoremas básicos

Teorema -1

Introducción

En algebra se estudian expresiones algebraicas como la siguiente: $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{8}{2x+y}$. Pospongamos la cuestión de su significado y comentemos su uso (y su sintaxis).