Básico

Doña Oralia va a enmosaicar su sala (de forma cuadrada) y contrata a don Eleno, un mosaiquero de la ciudad, para realizar esa tarea. Después de tomar medidas, don Eleno le dice: "estos 36 mosaicos que usted tiene solamente cubren 4/9 de su sala". Si los mosaicos son de forma cuadrada y miden 30 centímetros de lado ¿cuánto mide de lado la sala de doña Oralia?

Demostrar que $8p^2+1$ no es primo para ningún primo $p$ mayor que 3. 

Las diagonales de un cuadrado ABCD se cortan en E, la bisectriz del ángulo DBC corta a la diagonal AC en P y al lado CD en Q. Demostrar que DQ mide el doble que PE.

Van a viajar 27 personas en un autobús turístico que puede llevar 12 adentro y 15 afuera (en la parte superior). De las 25 personas, 5 piden ir afuera y 6 piden ir adentro. Si complacemos estas peticiones  ¿de cuántas formas pueden ser distribuidas las personas en el autobús?  (Considere que el orden en que se acomodan en los asientos es irrelevante, solamente importa quienes van adentro y quienes afuera.)

Doña Felix vende fruta en el mercado. Un día llevó a vender manzanas y naranjas. La fruta estaba en canastos, los cuales contenían solamente naranjas o solamente manzanas. Las cantidades de fruta en los canastos eran 8,12,15,17,19,22. Después de que vendió un canasto de fruta se dio cuenta de que el número de naranjas era el doble que el de manzanas. ¿Cuántas naranjas y cuántas manzanas le quedaron después de esa venta?

Un número autodescriptivo es un entero $m$ en el cual cada dígito $d$ en la posición $n$ (=0,1,2,...,9) cuenta las instancias del dígito $n$ en $m$. El número autodescriptivo más pequeño es 1210, pues tiene 1 cero, 2 unos, 1 dos y 0 treses. Encontrar el mayor número autodescriptivo.

En el cuadrado ABGD, sea E el punto medio de BG por el que levantamos la perpendicular EZ a BG (Z en AD). Trazaos las diagonales AG (del cuadrado) y BZ y ZG (de los rectángulos definidos por EZ en cuadrado). AG y BZ se cortan en F. Por el punto medio H de BE levantamos la perpendicular HT (T en BZ). Por H trazamos el segmento HK (K en BZ) de tal manera que H,K y A estén alineados. Trazamoe el segmento BM con M punto medio de AL. Con esto hemos dividido el rectángulo ABEZ en siete partes.

Beto tiene el doble de la edad que Sandra tenía cuando Beto era de la edad que ahora tiene Sandra. Cuando Sandra tenga la edad que ahora tiene Beto, la suma de sus edades será 45 años. ¿Qué edad tienen?

Miguel viajó en su auto de la ciudad $P$ a la ciudad $Q$. En la primera hora recorrió 1/3 de la distancia entre las ciudades y en la segunda 1/5. Llegó a su destino después de dos horas más durante las cuales viajó a una velocidad de 42 km/h. Calcular la velocidad promedio de todo el viaje. (Nota: la velocidad promedio se define como distancia/tiempo.)