En un triángulo isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base divide al triángulo en dos congruentes.
Demostración:
En la figura de arriba trácese la bisectriz del ángulo C y suponga que corta al lado AB en M. Por hipótesis los ángulos ACM y MCB son iguales. Esto sugiere la correspondencia C-C. Por otro lado, también por hipótesis, AC=CB. Esto sugiere la correspondencia A-B, y el otro punto común a los triángulos formados por la bisectriz es M, lo cual sugiere la correspondencia M-M.
Así pues, probemos la correspondencia ACM-BCM. Tenemos, AC=BC y CM=CM, falta ver si el ángulo formado por AC y CM es igual al formado por BC y CM. Pero eso es cierto por ser CM bisectriz. Así que podemos usar el criterio LAL para establecer que los triángulos puestos en correspondencia son congruentes.
De esta congruencia así establecida se siguen varios
Corolarios (para isósceles):
- La bisectriz es también mediatriz (pues los ángulos AMC y BMC son iguales y su suma es un llano, pero también los lados correspondientes AM y BM son iguales, así que MC es la perpendicular por el punto medio del la base)
- La bisectriz es también mediana (pues AM=BM)
- La bisectriz es también altura (pues los ángulos AMC y BMC son rectos)