Sumas

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2009 - 11:50.

Considere las sumas

$S=4\cdot 5-5\cdot 6 +\ldots - 2009\cdot 2010$

$T=3\cdot 6-4\cdot 7+\ldots -2008\cdot 2011$
Calcular el valor de

$S-T$

Sugerencia

Por:

jmd

Sugerencia:

Genera el término n-ésimo de cada suma

Solución

Por:

jmd

Fecha:

8 May 2009

Solución:

El término n-ésimo de $S$ es $S_n=(n+3)(n+4)$ , y el de $T$ es $T_n=(n+2)(n+5)$ . Es decir:

$S_n-T_n=n^2-7n+12-[n^2-7n+10]=2$

Y se ve que la diferencia no depende de

$n$ . De aquí que la diferencia de las sumas sea:

$2-2+2-2+2-\ldots$

Ahora sólo falta saber si la diferencia es 0 o 2. ¿Cómo lo averiguamos? Bueno, pues si fuesen un número par de términos la diferencia sería 0; y sería 2 de otra manera. (Pregunta para novicios: ¿cuántos sumandos tiene cada suma?) Como son 2006 términos, la respuesta es S-T=0.

Ver también:

Sumas telescópicas

Ver también:

Término n-ésimo (de una sucesión)

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Las sumas tienen

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2009 - 19:33.

Las sumas tienen 2009-3=2006=2008-2. (Otra pregunta para novicios: ¿Cómo lo sabemos? Sugerencia: busca el contador.)

Recomendación: Descargar y estudiar el capítulo 4 (denominado Sumas y recurrencias) del Libro_Santos.pdf que encontrarás en el link Descargables del menú De consulta en este sitio. En particular, la sección 4.3 está dedicada a las sumas telescópicas. (Las sumas del problema no son telescópicas, pero la diferencia tiene un aire de familia con las telescópicas...)

El problema es clásico de concurso: parece muy difícil pero... si sabes lo que tienes que saber... tarde o temprano descubres el truco... En este caso, descubrir el término n-ésimo es condición sine qua non... pero todavía faltaría ir más allá: descubrir que la diferencia no depende de n...

Los saluda

jmd

PD: y no se me duerman... descarguen el Santos y sintonicen en su canal... en general, la recomendación es que aprendan a ser autodidáctas en matemáticas de concurso... y usen la WEB como tutor...

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Es un problema realmente

Enviado por j_ariel el 8 de Mayo de 2009 - 19:41.

Es un problema realmente interesante y bueno :D, gracias! :D

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Ejercicio: Calcular la

Enviado por jmd el 8 de Mayo de 2009 - 23:08.

Ejercicio:

Calcular la diferencia S-T de las sumas

$S=\sum_{k=1}^{2006}(-1)^{n+1}(n+3)(n+4)$

$T=\sum_{k=1}^{2006}(-1)^{n+1}(n+2)(n+4)$

PD: generar los primeros 5 términos de cada suma para que se aseguren que entienden la notación sumatoria.

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