Álgebra

Un tren es obligado a detenerse 16 minutos más de lo programado en una estación. Para recuperar el tiempo perdido, en los siguientes 80 km viaja a una velocidad 10 km/h más rápido que lo normal. Calcular la velocidad normal del tren. 

 Encontrar todos los números de cuatro cifras tales que:

• la suma de los cuadrados de las cifras extremas es 13;
• la suma de los cuadrados de las cifras medias es 85;
• al restarle 1089 sus cifras se invierten (las unidades pasan a ser millares, etc.)

 Para llenar la alberca se dispone de dos mangueras $A$ y $B$. Un día que la alberca estaba vacía, Claudia abrió la manguera $A$ y la dejó abierta la tercera parte del tiempo con que la $B$ llena la alberca. Cuando llegó Bernardo, ambos abrieron la manguera $B$ y la dejaron abierta la tercera parte del tiempo que tarda la manguera $A$ en llenarla. Con esta agua, equivalente a $13/18$ de la capacidad de la alberca, se metieron a ejercitar la natación. Calcular los tiempos con que se llena la alberca con cada una de las mangueras, si se sabe que entre ambas se llena en 3 horas y 36 minutos.

Demostrar que todos los números de la sucesión 49, 4489,444889,... son cuadrados perfectos.

El promedio de dos números reales está exactamente a la mitad del camino entre ellos. Demostrarlo.

(Una Gaga (g) en rápido crecimiento, y rompiendo con todos los clichés, ha destronado en 2010 a Madonna (m) --una ex-reyna del pop ya en lento decaimiento.) Dentro de 4 años m tendrá el doble de la edad de g y la diferencia de sus edades es múltiplo de 7. Calcular éstas si se sabe además que g es mayor de edad y m todavía no es adulto en plenitud.

Camila, la princesa de la prepa, se reunió con tres de sus amigas y les regaló copias en CD del album más premiado del año (The Fame Monster, edición de lujo). A la primera le obsequió la mitad de las que traía en su mochila más dos, a la segunda la mitad de los que le quedaban más dos, y a la tercera la mitad de los que le quedaban más dos. Después del reparto le quedó una copia para ella. ¿Cuántas copias de The Fame Monster traía Camila en su mochila?

Encuentra todas las ternas de números naturales $ (a,b,c) $ que cumplan la ecuación $ abc=a+b+c+1 $.

 Los lados de un rectángulo tienen longitudes enteras, una de ellas es 8 unidades menos que otra, y la suma de tres de ellas es 55. Encontrar el perímetro.