Álgebra

Encuentre todos los enteros que se escriben como $$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{a_2}+\ldots+\frac{9}{a_9}$$ donde $a_1, a_2, \ldots , a_9$ son dígitos distintos de cero que pueden repetir.

Un número es suertudo si al sumar los cuadrados de sus cifras, y repetir esta operación suficientes veces, obtenemos el número 1. Por ejemplo, 1900 es suertudo, ya que $1900 \rightarrow 82 \rightarrow 68 \rightarrow 100 \rightarrow 1$. Encuentre una infinidad de parejas de enteros consecutivos, donde ambos números sean suertudos.

Pruebe que el número 1 se puede escribir de una infinidad de maneras distintas en la forma $$1 = \frac{1}{5} + \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \ldots + \frac{1}{a_n}$$ donde $n$ y $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos y $5 <a_1< a_2 <\ldots <a_n$

 

En una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en el orden habitual (de izquierda a derecha y de arriba a abajo). Como ejemplo se ilustra el caso $n = 3$: $$1 ~2 ~3$$ $$4 ~5 ~6$$ $$7 ~8 ~9$$

Llamemos camino en la cuadrícula a una sucesión de pasos de un cuadro a otro desde el cuadro 1 hasta el $n^2$, de tal manera que en cada paso el movimiento sea hacia la derecha o hacia abajo. Si $C$ es un camino, denotamos por $L(C)$ a la suma de los números por los que pasa el camino $C$.

a) Encuentra un subconjunto $B$ del conjunto $A = \{1, 2, 3, \ldots, 40\}$, de manera que $B$ tenga 26 elementos y que ningún producto de dos elementos de $B$ sea un cuadrado perfecto.
b) Demuestra que no se puede obtener un subconjunto de $A$ de 27 elementos con la característica mencionada en el inciso anterior.

Los doce números de un reloj se desprendieron y al colocarlos nuevamente,
se cometieron algunos errores. Demuestre que en la nueva colocación hay
un número que al sumarle los dos números que quedaron a sus lados se
obtiene un resultado mayor o igual a 21.
 

La colección infinita de números $1, 2, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 16, 17, \ldots$ se ha
formado de la siguiente manera: Se coloca primero el primer impar $(1)$,
luego los siguientes dos pares $(2, 4)$, después los siguientes tres impares
$(5, 7, 9)$, luego los cuatro pares siguientes al último impar que se colocó
y así sucesivamente. Encuentra el término de la secuencia más cercano a
1994.

Para cualquier número entero $n>0$, se define:
1. $f(n, 0) = 1$ y $f(n, n) = 1$
2. $f(n, k) = f(n - 1, k - 1) + f(n - 1, k)$ para $0<k<n$.
¿Cuántos cálculos se tienen que hacer para encontrar el valor de $f(3991, 1993)$,
sin contar aquellos de la forma $f(n, 0)$ y $f(n, n)$?

Encuentre los números de tres cifras tales que la suma de los cubos de éstas es igual al número.

Sean $x, y, z$ números reales positivos tales que $x + y + z = 3$. Si
$$S = \sqrt{2x + 3} + \sqrt{2y + 3} + \sqrt{2z + 3},$$
pruebe que $6 < S \leq 3\sqrt{5}$