Álgebra

Un día Lola la trailera midió el tiempo que le tomó atravesar un túnel desde que entró a él hasta que salió por completo. Al otro día, ya de regreso traía un contenedor añadido el cual incrementó la longitud del trailer de 6 a 12 metros. Al cruzar el túnel la segunda vez, Lola redujo la velocidad en un 20% y midió el tiempo de nuevo, resultando que se tardó un 50% más que la primera vez. Encontrar la longitud del túnel en metros.

Determinar todas las parejas $(x,y)$ de números enteros que verifican la ecuación:

$$\frac{1}{x}+\frac{2}{y} =\frac{8}{2x+y}$$

La suma de las áreas de dos cuadrados es 400, y el lado de uno mide 3/4 del lado del otro.

a) ¿Cuánto mide el lado de cada uno de los cuadrados?

b) ¿Cuánto medirían si la suma de las áreas fuese 800?

Encontrar todas las tripletas de enteros (a,b,c) tales que el producto de dos de ellos más el tercero sea la unidad (o sea el 1).

Resolver las siguientes ecuaciones funcionales.

1. Encontrar $p(x)$ de tal manera que $p(x+1)=p(x)+2x+1$.
2. Encontrar $f(x)$ de tal manera que $f(x+1)=x^2-3x+2$.
3. Lo mismo para $$ f(\frac{x+1}{x})=(\frac{x^2+1}{x^2})+1/x $$
4. $f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)$.
5. Para $x>0$, $f(xy)=xf(y)+yf(x)$.
6. $f(x+1)+f(x-1)=2x^2-4x$.

Encontrar todas las soluciones del siguiente sistema de tres ecuaciones en tres incógnitas.

x+y+z=2

x^2+y^2+z^2=14

xyz=-6

Considere la sucesión $a_0, a_1, a_2,\dots $ de enteros construida como sigue:

1. $ a_0 > 5 $ es impar,
2. $ a_{n+1} = a_n/2 $ si $ a_n $ es par,
3. y $a_{n+1} ={a_n}^2-5$ si $ a_n $ es impar.

Demostrar que la sucesión es no acotada.