Álgebra

Sea $ n $ un entero positivo y sean $a_1,a_2,...,a_k (k\geq 2)$ enteros distintos del conjunto $ {1,...,n} $, tales que $ n $ divide a $a_i(a_{i+1}-1)$, para $i=1,..., k-1$. Demostrar que $ n $ no divide a $a_k(a_1-1)$.

Considere la sucesión $a_1=1$ y, para $ n $ mayor que 1, $a_n=1+2a_{n-1}.$ Encontrar una fórmula para el término n-ésimo y demostrarla por inducción.

La ecuación $x^2+bx+2=0$ tiene solamente una raíz. Determinar los valores de $b$.

Si $p^2+1/p^2=7$, con $p$ entero positivo, encontrar el valor de $p+1/p.$

Una cuadrilla de jardineros recortó el pasto de dos prados, uno de doble área que el otro. Durante media jornada  toda la cuadrilla trabajó en el prado grande; después de la comida, la mitad trabajó en el prado grande y la otra en el pequeño.

Un equipo de pasteleros está compuesto por el viejo panadero y 9 estudiantes. Un cierto día el viejo panadero horneó 9 pasteles más que el promedio de todo el equipo (incluyéndolo a él). Si se sabe que ese día cada estudiante horneó 15 pasteles ¿cuántos pasteles fueron horneados por todo el equipo?

Factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

$$x^4 +6x^3 +11x^2 +6x +1$$

$$x^4 +6x^3 +11x^2 +6x$$

Genera un problema de concurso, en vista de las dos factorizaciones.

Alejandra (de 37 abriles) fue apañada por un retén de la PGR en Tijuana, el día último de abril, apenas cruzó la aduana procedente de San Diego. Le incautaron 30000 US Dollars, producto de la recaudación por venta de coca en USA.

Considere las sumas $$S=4\cdot 5-5\cdot 6 +\ldots - 2009\cdot 2010$$
$$T=3\cdot 6-4\cdot 7+\ldots -2008\cdot 2011$$
Calcular el valor de $S-T$

Sea $A_1, A_2, \dots, A_n$ los $ n $ vértices de un polígono regular con circunferencia circuncrita de radio $R$, Demuestra que: