Álgebra

El dinero (no declarado) de la colecta se va a repartir en partes iguales entre los miembros del comité (pro-viaje de estudios). Si fueran 3 miembros más les tocaría 25 pesos menos, y si fueran 2 menos les tocaría 25 pesos más. ¿Cuántos miembros son y cuánto se repartieron?

Sea $n>1$ un entero impar y sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales distintos. Sea $ M $ el mayor de estos números y sea $m$ el menor de ellos. Muestra que es posible escoger los signos de la expresión $s=\pm {a_1} \pm {a_2}\pm \ldots \pm {a_n}$ de manera que $m<s<M$.

Sean $a,b,c$ números reales positivos tales que $abc=1$. Muestra que
$ \frac {a^3}{a^3+2} + \frac {b^3}{b^3+2} + \frac {c^3}{c^3+2}\geq 1$ y que $ \frac {1}{a^3+2} + \frac {1}{b^3+2} + \frac {1}{c^3+2} \leq 1$

Fui a la librería y me gustó un libro (Cómo ser feliz en 7 lecciones). Compré varios ejemplares para regalar en Navidad a mis amistades. Por eso la señorita me hizo un descuento de 10 pesos por cada copia. Pagué 1200 pesos. Sin ese descuento, con los 1200 hubiera comprado 4 libros menos.

Hace 10 años Jesús tenía la misma edad que Lourdes tiene ahora. Dentro de 7 años Madonna tendrá dos veces la edad de Jesús, aunque actualmente tiene 3 años más que cuatro veces la edad de Lourdes.

La sucesión $a_n$ está definida por

$a_1=1, a_{2k}=1+a_k$ y $a_{2k+1}=\frac{1}{a_{2k}}$, para todo entero $k\geq 1$.

Demostrar que todo número racional positivo aparece exactamente una vez en esa sucesión.
 

Demostrar que si una progresión aritmética de enteros positivos contiene un cuadrado perfecto entonces contiene infinitamente muchos cuadrados perfectos.

Sea $ n $ un entero positivo. Una baraja de $2n$ cartas contiene exactamente dos cartas marcadas con cada uno de los enteros $1,2,\ldots,n.$  Las cartas se ordenan en la forma $1,1,2,2,3,3,...,n,n.$  La baraja ya ordenada de esta manera se parte, y resulta que, en las dos partes, los dígitos en las cartas suman la misma cantidad.

Determinar todas las funciones f del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros positivos tales que, para todos los enteros positivos a y b, existe un triángulo no degenerado cuyos lados miden

$$a, f(b)  \textrm{ y } f(b + f(a) - 1)$$

(Un triángulo es no degenerado si sus vértices no están alineados).

Sea $s_1, s_2, s_3, \ldots $ una sucesión estrictamente creciente de enteros positivos tal que las
subsucesiones
$$s_{s_1} , s_{s_2} , s_{s_3} ,\ldots \textrm{ y } s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \ldots $$
son ambas progresiones aritméticas. Demostrar que la sucesión $s_1, s_2, s_3, . . .$ es también una progresión