Álgebra

Sean dados la colección de $n$ números reales positivos $a_1 < a_2 < a_3 < \ldots < a_n$, y la función $$f(x)=\frac{a_1}{x+a_1}+\frac{a_2}{x+a_2}+\ldots +\frac{a_n}{x+a_n}$$  Determinar la suma de las longitudes de los intervalos, disjuntos dos a dos, formados por todos los valores de $x$ tales que $f(x)\gt 1$.

Para cada entero positivo $n$, sea $a_n$ el último dígito del número $1+2+3+ ...+n$. Calcular $a_1 + a_2 + a_3 +\ldots+a_{1992}$.

Sea $P(X,Y) = 2X^2 - 6XY + 5Y^2$. Diremos que un número entero $A$ es un valor de $P$ si existen números enteros $B$ y $C$ tales que $A = P(B,C)$.

• i) Determinar cuántos elementos de $\{1, 2, 3, ... ,100\}$ son valores de $P$.
• ii) Probar que el producto de valores de $P$ es un valor de $P$.

Sea $F$ una función creciente definida para todo número real $x$, $0\leq x \leq 1, tal que:

• (a) $F(0) = 0$
• (b) $F(x/3) = F(x)/2$
• (c) $F(1-x) = 1 - F(x)$

Encontrar $F(18/1991)$

Sea $f(x)$ un polinomio de grado 3 con coeficientes racionales. Probar que si el gráfico de $f$ es tangente al eje $x$, entonces $f(x)$ tiene sus 3 raíces racionales.

Sea $f(x) = (x + b)^2 - c$, un polinomio con $b$ y $c$ números enteros.

• a) Si $p$ es un número primo tal que $p$ divide a $c$ y $p^2$ no divide a $c$, demostrar que, cualquiera que sea el número entero $n$, $p^2$ no divide a $f(n)$.
• b) Sea $q$ un número primo, distinto de 2, que divide a $c$. Si $q$ divide a $f(n)$ para algún número entero $n$, demostrar que para cada entero positivo $r$ existe un número entero $n'$ tal que $q^r$ divide a $f(n')$.

Sea $f$ una función, definida en el conjunto de los enteros mayores o iguales que cero, que verifica las dos condiciones siguientes:

• (I) Si $n = 2^j -1$, para $n = 0, 1, 2,\ldots$, entonces $f(n)=0$
• (II) Si $n\neq 2^j-1, para n = 0, 1, 2,\ldots, entonces$f(n+1) = f(n) -1$.

a) Demostrar que para todo entero $n$, mayor o igual que cero, existe un entero $k$, mayor que cero, tal que $f(n)+n= 2^k - 1$
b) Calcular $f (2^{1990})$

 Mostrar que hay una infinidad de pares de números naturales que satisfacen la ecuación
2x^2 - 3x = 3y^2: $$2x^2 -3x + 1 =3y^2 + y$$

Sea la función $f$ definida sobre el conjunto $\{1, 2, 3,\ldots\}$ tal que
$$f(1) = 1$$
$$f(2n + 1) = f(2n) +1$$
$$f(2n) = 3f(n)$$
Determinar el conjunto de valores que toma $f$

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Probar que:
$$|\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b´c}+\frac{c-a}{ca}|<\frac{1}{16}$$