P4. IMO 2014 - Concurrencia de dos rectas y una circunferencia

Los puntos $P$ y $Q$ están en el lado $BC$ del triángulo acutángulo $ABC$ de modo que $\angle PAB = \angle BCA$ y $\angle CAQ = \angle ABC$. Los puntos $M$ y $N$ están en las rectas $AP$ y $AQ$, respectivamente, de modo que $P$ es el punto medio de $AM$, y $Q$ es el punto medio de $AN$. Demostrar que las rectas $BM$ y $CN$ se cortan en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$