Sea ABC un triángulo y sea H su ortocentro. Sea PQ un segmento que pasa por H con P en AB, Q en AC y tal que ∠PHB=∠CHQ. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo ABC considera M el punto medio del arco BC que no contiene a A. Muestra que MP=MQ.
Sea ABC un triángulo y sea H su ortocentro. Sea PQ un segmento que pasa por H con P en AB, Q en AC y tal que ∠PHB=∠CHQ. Finalmente en el ciruncírculo del triángulo ABC considera M el punto medio del arco BC que no contiene a A. Muestra que MP=MQ.
genial
Extendemos la altura BH
Extendemos la altura BH hasta que corte a AC en F y la altura CH hasta que corte a AB en G. Por ser opuestos por el vértice, ∠FHQ=∠BHP y ∠GHP=∠CHQ. Por las condiciones del problema, concluimos que ∠FHQ=∠GHP. Debido a que BF y CG son alturas, ∠HFQ=90°=∠HGP; por lo que por criterio AA, los triángulos HFQ y HGP son semejantes, lo que implica que ∠FQH=∠GPH.
Esta igualdad supone que el triangulo QAP es isósceles, con AQ=AP. Además como ∠QAM=∠CAM=∠BAM=∠PAM por abrir la mitad del arco BC y por último, compartir el segmento AM, los triángulos AQM y APM son congruentes por criterio LAL, lo que implica que MP=MQ, que es lo que queríamos demostrar.