Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a + b$ y $201a + b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Determinar todas las parejas $(a,b)$, donde $a$ y $b$ son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que $100a + b$ y $201a + b$ son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
$100a+b=x^2$ $201a+b=y^2$
$100a+b=x^2$
$201a+b=y^2$
$y^2-x^2=101a$
Como 101 es primo y $a$ tiene dos cifras, entonces son coprimos.
Además $y^2-x^2=(y-x)(y+x)$, por lo que $(y-x)(y+x)$ difieren en $2x$. Entonces $101-a=2x$ (no puede ser al revés ya que $a$ tiene dos dígitos). Entonces $x=\frac{101-a}{2}$. Reemplazando en la primera ecuación:
$100a+b=(\frac{101-a}{2})^2$, por lo que $a^2-602a+101^2-4b=0$. Aplicando resolvente:
el discriminante queda: $602^2-4(101^2-4b)$ que debe ser un cuadrado. Así:
$602^2-4(101^2-4b)=j^2$. Entonces: $321600+16b=j^2$. Dividiendo por 16:
$20100+b=l^2$. Pero esta expresión se encuentra entre $141^2$ y $143^2$, por lo que es igual a $142^2$. Entonces $b=64$. Reemplazando:
$a^2-602a+101^2-4(64)=0$, de donde se despeja: $a=17$ y estamos listos.