
Determinar todas las parejas (a,b), donde a y b son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que 100a+b y 201a+b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
Determinar todas las parejas (a,b), donde a y b son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que 100a+b y 201a+b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.
100a+b=x2 201a+b=y2
100a+b=x2
201a+b=y2
y2−x2=101a
Como 101 es primo y a tiene dos cifras, entonces son coprimos.
Además y2−x2=(y−x)(y+x), por lo que (y−x)(y+x) difieren en 2x. Entonces 101−a=2x (no puede ser al revés ya que a tiene dos dígitos). Entonces x=101−a2. Reemplazando en la primera ecuación:
100a+b=(101−a2)2, por lo que a2−602a+1012−4b=0. Aplicando resolvente:
el discriminante queda: 6022−4(1012−4b) que debe ser un cuadrado. Así:
6022−4(1012−4b)=j2. Entonces: 321600+16b=j2. Dividiendo por 16:
20100+b=l2. Pero esta expresión se encuentra entre 1412 y 1432, por lo que es igual a 1422. Entonces b=64. Reemplazando:
a2−602a+1012−4(64)=0, de donde se despeja: a=17 y estamos listos.