Cuadrados perfectos formados con dos números

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Determinar todas las parejas (a,b), donde a y b son enteros positivos de dos dígitos cada uno, tales que 100a+b y 201a+b son cuadrados perfectos de cuatro dígitos.




Imagen de crimeeee

100a+b=x2 201a+b=y2

100a+b=x2
201a+b=y2

y2x2=101a

Como 101 es primo y a tiene dos cifras, entonces son coprimos.
Además y2x2=(yx)(y+x), por lo que (yx)(y+x) difieren en 2x. Entonces 101a=2x (no puede ser al revés ya que a tiene dos dígitos). Entonces x=101a2. Reemplazando en la primera ecuación:

100a+b=(101a2)2, por lo que a2602a+10124b=0. Aplicando resolvente:

el discriminante queda: 60224(10124b) que debe ser un cuadrado. Así:

60224(10124b)=j2. Entonces: 321600+16b=j2. Dividiendo por 16:

20100+b=l2. Pero esta expresión se encuentra entre 1412 y 1432, por lo que es igual a 1422. Entonces b=64. Reemplazando:

a2602a+10124(64)=0, de donde se despeja: a=17 y estamos listos.