Ecuación de inversos

Sea $p > 3$ un número primo. Si $$\frac{1}{1^p}+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\ldots+\frac{1}{(p-1)^p}=\frac{n}{m}$$  donde el máximo común divisor de $n$ y $m$ es 1. Demuestre que $p^3$ divide a $n$.