ahora supongamos que p y 10 son primos relativos entonces p y 5 son primos relativos y tambien p y 2 entonces por el PTF
$p^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
$p^4 \equiv 1 \pmod{2}$.
de aqui que
$p^4 \equiv 1 \pmod{10}$
sustituyendo esto en (1) tenemos que
$-2-3 \equiv 5 \equiv q \pmod{10}$
entonces q es 5 ya que no hay otro primo cumpla esto pero esto nos llevaria a una contradiccion ya que p=$\root {4} \of {\frac{3003+5}{8}}$ no es un entero, esta contradiccion viene de suponer que p y 10 son primos relativos entonces dado que p es primo tenemos dos casos p=2 o p=5
Ahora si p=2
$8*2^4-30003=-2875$ que es divisible entre 5 y por lo mismo no es primo
Ahora si p=5
$8*5^4-30003=1997$ que es un numero primo
Por lo tanto el unico primo que cumple la propiedad mencionada es el 5
Solucion Tomamos a donde q
Solucion
Tomamos a $8p^4-30003=q$ donde q es un primo y analizamos esta igualdad en modulo 10 entonces
$8p^4-3003 \equiv -2p^4-3 \equiv q \pmod{10}$.......................(1)
ahora supongamos que p y 10 son primos relativos entonces p y 5 son primos relativos y tambien p y 2 entonces por el PTF
$p^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
$p^4 \equiv 1 \pmod{2}$.
de aqui que
$p^4 \equiv 1 \pmod{10}$
sustituyendo esto en (1) tenemos que
$-2-3 \equiv 5 \equiv q \pmod{10}$
entonces q es 5 ya que no hay otro primo cumpla esto pero esto nos llevaria a una contradiccion ya que p=$\root {4} \of {\frac{3003+5}{8}}$ no es un entero, esta contradiccion viene de suponer que p y 10 son primos relativos entonces dado que p es primo tenemos dos casos p=2 o p=5
Ahora si p=2
$8*2^4-30003=-2875$ que es divisible entre 5 y por lo mismo no es primo
Ahora si p=5
$8*5^4-30003=1997$ que es un numero primo
Por lo tanto el unico primo que cumple la propiedad mencionada es el 5
Ohhhhhh!! Muy buena solución
Ohhhhhh!! Muy buena solución Adiel! La voy a poner como la solución oficial del problema.