P1 OMM 1997. Primo función de un primo

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Encuentre todos los números primos positivos p tales que 8p43003 también es un primo positivo.




Imagen de Adiel

Solucion Tomamos a donde q

Solucion

Tomamos a 8p430003=q donde q es un primo  y analizamos esta igualdad en modulo 10 entonces

8p430032p43q(mod10).......................(1)

ahora supongamos que p y 10 son primos relativos entonces p y 5 son primos relativos y tambien p y 2 entonces por el PTF

p41(mod5).      

p41(mod2).      

de aqui que

p41(mod10)

sustituyendo esto en (1) tenemos que

235q(mod10) 

entonces q es 5 ya que no hay otro primo cumpla esto pero esto nos llevaria a una contradiccion ya que p=43003+58 no es un entero, esta contradiccion viene de suponer que p y 10 son primos relativos entonces dado que p es primo tenemos dos casos  p=2 o p=5

Ahora si p=2

82430003=2875 que es divisible entre 5 y por lo mismo no es primo

Ahora si p=5

85430003=1997 que es un numero primo

Por lo tanto el unico primo que cumple la propiedad mencionada es el 5

Imagen de jesus

Ohhhhhh!! Muy buena solución

Ohhhhhh!! Muy buena solución Adiel! La voy a poner como la solución oficial del problema.