ahora supongamos que p y 10 son primos relativos entonces p y 5 son primos relativos y tambien p y 2 entonces por el PTF
p4≡1(mod5).
p4≡1(mod2).
de aqui que
p4≡1(mod10)
sustituyendo esto en (1) tenemos que
−2−3≡5≡q(mod10)
entonces q es 5 ya que no hay otro primo cumpla esto pero esto nos llevaria a una contradiccion ya que p=4√3003+58 no es un entero, esta contradiccion viene de suponer que p y 10 son primos relativos entonces dado que p es primo tenemos dos casos p=2 o p=5
Ahora si p=2
8∗24−30003=−2875 que es divisible entre 5 y por lo mismo no es primo
Ahora si p=5
8∗54−30003=1997 que es un numero primo
Por lo tanto el unico primo que cumple la propiedad mencionada es el 5
Solucion Tomamos a donde q
Solucion
Tomamos a 8p4−30003=q donde q es un primo y analizamos esta igualdad en modulo 10 entonces
8p4−3003≡−2p4−3≡q(mod10).......................(1)
ahora supongamos que p y 10 son primos relativos entonces p y 5 son primos relativos y tambien p y 2 entonces por el PTF
p4≡1(mod5).
p4≡1(mod2).
de aqui que
p4≡1(mod10)
sustituyendo esto en (1) tenemos que
−2−3≡5≡q(mod10)
entonces q es 5 ya que no hay otro primo cumpla esto pero esto nos llevaria a una contradiccion ya que p=4√3003+58 no es un entero, esta contradiccion viene de suponer que p y 10 son primos relativos entonces dado que p es primo tenemos dos casos p=2 o p=5
Ahora si p=2
8∗24−30003=−2875 que es divisible entre 5 y por lo mismo no es primo
Ahora si p=5
8∗54−30003=1997 que es un numero primo
Por lo tanto el unico primo que cumple la propiedad mencionada es el 5
Ohhhhhh!! Muy buena solución
Ohhhhhh!! Muy buena solución Adiel! La voy a poner como la solución oficial del problema.