Publicaciones Recientes
Embaldosado de un patio
Se desea embaldosar un patio cuadrado de lado N entero positivo. Se dispone de dos tipos de baldosas: cuadradas de 5×5, y rectangulares de 1×3. Determine los valores de N para los cuales es posible hacerlo. Nota: el patio debe quedar completamente cubierto sin que las baldosas se sobrepongan.
Mover una ficha en un tablero
Un jugador coloca una ficha en una casilla de un tablero m\timesn dividido en cuadrados de tamaño 1×1. El jugador mueve la ficha de acuerdo a las siguientes reglas:
- En cada movida, el jugador mueve la ficha a un cuadrado que comparte un lado con el cuadrado en que se encuentra.
- El jugador no puede mover la ficha a un cuadrado que ha ocupado previamente.
- Dos movimientos consecutivos no pueden tener la misma dirección.
El juego termina cuando el jugador no puede mover la ficha. Determine todos los valores de m y n tales que, al colocar la ficha en algún cuadrado, todos los cuadrados pueden ser ocupados durante el juego.
Tangente al circuncírculo
En el triángulo ABC, L,M,N son los puntos medios de los lados BC,CA,AB, respectivamente. La tangente por A al circuncírculo de ABC, corta en P y Q a las rectas LM y LN, respectivamente. Demostrar que CP es paralela a BQ.
Suma de dígitos
Si S(n) denota la suma de los dígitos de un número natural n, encontrar todas las soluciones de n(S(n)−1)=2010 y demostrar que son las únicas.
Posible cambio de variables en desigualdades (2)
Sean x,y,z números reales positivos. Demostrar que si xy+yz+zx+2xyz=1, entonces existen números a,b,c reales positivos tales que
x=ab+c,y=bc+a,z=ca+b
Posible cambio de variables en desigualdades
Sean x,y,z números reales positivos y σ1=x+y+z, σ2=xy+yz+zx, σ3=xyz. Demostrar que si σ3=σ1+2, entonces existen números a,b,c reales positivos tales que x=b+ca,y=c+ab,z=a+bc
Un ejercicio algebraico con polinomios simétricos
Sean x,y,z números reales positivos y σ1=x+y+z, σ2=xy+yz+zx, σ3=xyz, los polinomios simétricos elementales para tres variables. Demostrar que 1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1 si y sólo si σ3=σ1+2. (En otras palabras, las ecuaciones 1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)=1 y xyz=x+y+z+2 pueden ser transformadas una en la otra mediante operaciones algebraicas.)
Programa de entrenamientos, OMM Tamaulipas 2010
Ramón J Llanos, delegado Tamaulipas de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas, me envió el siguiente programa de entrenamientos para que le diera difusión en MaTeTaM:
Entrena con Nueva Zelanda
El sitio web de la Olimpiada de matemáticas de Nueva Zelanda ofrece problemas mensuales orientados a la preparación olímpica de sus estudiantes. Traduzco el paper de mayo de problemas propuestos (lo pueden consultar en inglés en http://www.nzamt.org.nz/nzimo/wp-content/uploads/2010/05/2010problems-ma...)
Un producto de Cauchy
Sea dada una sucesión finita a0,a1,a2,…,an de números reales positivos. Demostrar que la sucesión es geométrica si y sólo si se cumple la ecuación
(a20+a21+…+a2n−1)(a21+a22+…+a2n)=(a0a1+a1a2+…+an−1an)2
