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Lados y alturas en progresión aritmética, equilátero
Las medidas de los lados de un triángulo están en progresión aritmética, y las longitudes de las alturas del mismo triángulo también están en progresión aritmética. Demuestre que el triángulo es equilátero.
Puntos en lados opuestos de un cuadrilátero
Sean ABCD un cuadrilátero plano convexo, y P y Q puntos de AD y BC, respectivamente, tales que
APPD=ABDC=BQQC
Demuestre que los ángulos que forma la recta PQ con las rectas AB y DC son iguales.
Raíces de una ecuación cúbica
Si r,s y t son las raíces de la ecuación x(x−2)(3x−7)=2
a) Demuestre que r,s y t son positivos.
b) Calcule arctanr+arctans+arctant
El truco es conjugar
Pruebe que si m,n,r son enteros positivos, no nulos, y 1+m+n√3=(2+√3)2r−1, entonces m es un cuadrado perfecto.
Una condición de isósceles
En un triángulo ABC, M y N son los puntos medios respectivos de los lados AC y AB, y P el punto medio de intersección de BM y CN. Demuestre que, si es posible inscribir una circunferencia en el cuadrilátero ANPM, entonces el triángulo ABC es isósceles.
Funciones que cumplen ecuación
Encontrar las funciones f(x) tales que cumplen la ecuación [f(x)]2[f(1−x)/(1+x)]=64x para x≠0,x≠1,x≠−1
Cevianas por el circuncentro
Dado un triángulo ABC, considere los puntos D,E,F en las rectas BC,AC,AB, respectivamente. Si las rectas AD,BE,CF pasan todas por el centro O del circuncírculo de ABC, cuyo radio es r, demostrar que
1AD+1BE+1CE=2r
Un ejercicio en álgebra
Demostrar que si x≠1,y≠1,x≠y y yz−x21−x=zx−y21−y
entonces ambas fracciones son iguales a x+y+z.
Vieta y la desigualdad de las medias
Halle las raíces r1,r2,r3,r4 de la ecuación:
4x^4 – ax^3 + bx^2 – cx + 5 = 0
Sabiendo que son reales positivos, y que
\frac{r_1}{2}+\frac{r_2}{4}+\frac{r_3}{5}+\frac{r_4}{8}=1
Punto en el interior de un equilátero
Sea P un punto interior al triángulo equilátero ABC tal que:
PA = 5, PB = 7, PC = 8
Encontrar la longitud del lado del triángulo ABC.
