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Focos distribuidos en una circunferencia (P1)
Se tienen 25 focos distribuidos de la siguiente manera: los primeros 24 se disponen en una circunferencia colocando un foco en cada uno de los vértices de un 24-ágono regular, y el foco restante se coloca en el centro de dicha circunferencia. Se permite aplicar cualquiera de las siguientes dos operaciones:
Cuadrilátero cíclico: más instancias de uso
En este post voy a recomendar el estudio de algunos materiales sobre cuadriláteros cíclicos a quienes se están preparando para el nacional. De paso intercalo dos instancias de su uso.
En un post anterior --dedicado a los criterios de reconocimiento de los cuadriláteros cíclicos-- hemos destacado la importancia de esta herramienta en el problem solving de geometría y discutimos varias instancias de uso asociadas a demostraciones del teorema de la mariposa.
Modelación de problemas. Cálculo diferencial e integral I.
1. Se desea cercar un terreno de 2000m2, expresa una ecuación que defina la cantidad de cerco en función de su lado de mayor longitud. Nota: Es un terreno rectangular.
2. Expresa el área de una caja con base cuadrangular si tiene un volumen de 16m2 expresala en función de la longitud de su altura.
3.Se desea construir un cilindro de 40 cm3, expresa el área del cilindro en función de su radio.
Selectivo 2 OMM_Tam_2014
Enseguida presento los cuatro problemas del segundo examen selectivo para la preselección Tamaulipas OMM 2014. Añado las soluciones al 2 y al 4.
Problema 1. En un cuadrilátero ABCD convexo se trazan las perpendiculares desde cada vértice a la diagonal que no pasa por él. Demostrar que los cuatro puntos de intersección de cada perpendicular con su correspondiente diagonal forman un cuadrilátero semejante al dado.
Preselección OMM Tamaulipas 2014 --después del primer corte
1 Germán Puga Castillo
2 Roberto Alain Rivera Bravo
3 José Luis Domínguez Rodríguez
4 Roberto Llanos Hernández
5 Pablo Aurelio Estrada Flores
6 Jesús Francisco Anaya González
7 Julio Cesar Sandoval de la Cruz
8 Ingrid Amaya Chávez
9 Carlos Humberto Luévanos Méndez
10 Marlene Sandoval M
11 Mario Arturo González Sandoval
12 Juventino López Jerónimo
13 Sergio Gutiérrez González
14 Javier Alfonso Martiarena Hernández
15 Alan Alfredo Reta Ramírez
Relaciones combinatorias
Sean $r,n$ enteros no negativos tales que $r\leq{n}$.
a) Demostrar que $$\frac{n+1-2r}{n+1-r}C(n,r)$$ es un entero.
b) Demostrar que
$$ \sum_{r=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n+1-2r}{n+1-r}C(n.r)<2^{n-2}$$ para todo $n\geq 9$.
(Nota: $\lfloor x\rfloor$ es el mayor entero menor o igual que x, y $C(n,r)$ es el número de subconjuntos de tamaño r tomados de un conjunto de tamaño n.)
Viaje redondo
Air Michael y Air Patrick operan vuelos directos que conectan Belfast, Cork, Dublin, Galway, Limerick y Waterford. Para cada par de ciudades exactamente una de las aerolíneas opera la ruta (en ambos sentidos) conectando las ciudades.Demostrar que hay cuatro ciudades para las cuales una de las aerolíneas opera un viaje redondo. (Un viaje redondo para las ciudades P,Q,R,S es un viaje que va de P a Q, de Q a R, de R a S y de S a P.)
Senos cuadráticos
Todos los primos tales que...
Encontrar todos los números primos $p,q$ tales que $p$ divide a $q+6$ y $q$ divide a $p+7$.
Una recta variable que pasa por un punto fijo
El punto P está fijo en una circunferencia y el punto Q está fijo en una recta. Un punto variable R se mueve sobre la circunferencia pero sin alinearse con P y Q. La circunferencia por P,Q y R corta a la recta de nuevo en V. Demostrar que la recta VR pasa por un punto fijo.
