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Si tienes la teoría, la práctica es más eficaz
El problema 1 del concurso estatal
Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001
pone en juego uno de los conocimientos más elementales de las matemáticas escolares: el significado de "múltiplo" y el algoritmo de la división. No se necesita más para resolverlo.
El método directo es emprender la división entre 1001. Pero son muchas cifras... tantas que no caben todas en la hoja de papel. ¿Entonces? Bueno, lo que está obligado a hacer el cognizador es a idear una estrategia alternativa.
Preselección Tamaulipas para la XXIV OMM
Preselección estatal, Tamaulipas 2010, XXIV OMM
Distancia a la otra tangente común
Considere dos circunferencias de radios r y R, y centros B y C, respectivamente. Demostrar que si A es un punto sobre una tangente externa común a las dos circunferencias, y es equidistante a los centros de éstas, entonces la distancia de A a la otra tangente externa común es r+R.
Dos desigualdades y una ecuación
a) Demostrar que para todas las parejas a,b de números reales se cumplen las desigualdades:
(a2+1)(b2+1)≥(ab+1)2
(a2+1)(b2+1)≥(a+b)2
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.
c) Encontrar todas las soluciones (x,y) en números reales, de la ecuación (x2+1)(y2+1)=(xy+1)(x+y)
No podrían saludar sólo a uno
Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.
Múltiplo de 1001
Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.
Método de áreas (para encontrar razones)
¿Cómo se demostraba Ceva con áreas?
Sean L,M,N puntos sobre los lados BC,CA,AB del triángulo ABC, y las cevianas AL,BM,CN concurrentes en el punto P. Calcular el valor numérico de las sumas de razones siguientes:
PLAL+PMBM+PNCN
APAL+BPBM+CPCN
Diofantina de primos
Encontrar todos los primos p,q que cumplen la ecuación p+q2=q+145p2
Triángulo y circunferencia circunscrita
Dado el triángulo ABC, se consideran los puntos D, E, y F sobre los segmentos BC, AC, y AB, respectivamente. Demostrar que si los segmentos AD, BE, y CF pasan por el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, de radio R, entonces
1AD+1BE+1CF=2R.
