Tamaulipas 2010
Distancia a la otra tangente común
Considere dos circunferencias de radios r y R, y centros B y C, respectivamente. Demostrar que si A es un punto sobre una tangente externa común a las dos circunferencias, y es equidistante a los centros de éstas, entonces la distancia de A a la otra tangente externa común es r+R.
Dos desigualdades y una ecuación
a) Demostrar que para todas las parejas a,b de números reales se cumplen las desigualdades:
(a2+1)(b2+1)≥(ab+1)2
(a2+1)(b2+1)≥(a+b)2
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.
c) Encontrar todas las soluciones (x,y) en números reales, de la ecuación (x2+1)(y2+1)=(xy+1)(x+y)
No podrían saludar sólo a uno
Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.
Múltiplo de 1001
Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.
