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Triángulo escaleno (P2)
Sea ABC un triángulo escaleno, D el pie de la altura desde A, E la intersección del lado AC con la bisectriz del lado ∠ABC, y F un punto sobre el lado AB. Sea O el circuncentro del triángulo ABC y sean X, Y y Z los puntos donde se cortan las rectas AD con BE, BE con CF, CF con AD, respectivamente. Si XYZ es un triángulo equilátero, demuestra que uno de los triángulos OXY, OYZ, OZX es un triángulo equilátero.
Moscas en un cubo (P1)
En cada uno de los vértices de un cubo hay una mosca. Al sonar el silbato cada una de las moscas vuela a alguno de los vértices del cubo situado en una misma cara del vértice de donde partió, pero diagonalmente opuesto a éste. Al sonar el silbato ¿de cuántas maneras pueden volar las moscas de modo que en ningún vértice queden dos o más moscas?
Discusión sobre incírculos y excírculos
Voy a discutir en este post algunos conceptos relacionados con las circunferencias incrita y exinscrita. Dichos conceptos forman un todo y conviene aprenderlos en paquete --es muchísimo más fácil retenerlos en la memoria y comprenderlos si se aprenden en sus interconexiones.
Se trata de los conceptos de semiperímetro --en el contexto de ciertas simetrías entre las longitudes de las tangentes de circuncírculo y excírculos--, el concepto de puntos isotómicos, y el de los puntos de Gergonne y Nagel --como ejemplo de puntos conjugados isotómicos.
Concurso MaTeTaM
Debido a cuestiones fuera del control de la delegación Tamaulipas de la OMM (Olimpiada Mexicana de Matemáticas), el proceso de selección en Tamaulipas se ha retardado demasiado este año.
Por esa razón, MaTeTaM solicita la opinión de los estudiantes y profesores asesores de Tamaulipas acerca de su posible participación en un concurso vía Internet a través de este sitio Web.
De ese concurso se obtendría --con la validación del delegado-- una preselección de 20 alumnos y los entrenamientos y exámenes selectivos (para elegir los 15 de la Olimpiada Norestense) iniciarían una vez regresando de las vacaciones en la segunda quincena de agosto.
Un problema clásico de homotecia
Durante el año 2009, al final de uno de los entrenamientos de la OMM Delegación Tamaulipas, Jesús Rodríguez Viorato le planteó el siguiente problema a Luis Brandon --el líder de la selección 2009:
El incírculo de un triángulo ABC, es tangente en D al lado BC y DM es un diámetro. El rayo AM corta en F el lado BC. Demostrar que BD=CF.
Homotecia en un isósceles
Considere un triángulo ABC con AB=AC, y sea D el punto medio de BC. La circunferencia de diámetro AD corta el lado AB en B′ y el lado AC en C′. El circuncírculo de ABC, con centro en O, es tangente al lado AB en P y al lado AC en Q. Si llamamos M al punto medio de PQ, demostrar:
- B′M es paralelo a BO
- M es equidistante de los lados del triángulo AB′C′
Dos cuerdas por el punto medio de una cuerda
Sea AB una cuerda que no pasa por el centro del círculo y considere dos cuerdas CD,EF que se cortan en el punto medio P de AB. Demostrar que si las tangentes a la circunferencia en C y D se cortan en Q, y las tangentes en E y F se cortan en R, entonces QR es paralela a AB.
Criterio para establecer cíclico con potencia de un punto
Si las rectas AB,CD se cortan en P y PA⋅PB=PC⋅PD, entonces los puntos A,B,C,D pertenecen a una misma circunferencia. Demostrarlo.
Bisectriz, dos triángulos, circuncírculos, potencia...
La bisectriz del ángulo B del triángulo ABC corta a CA en D. El circuncírculo del triángulo BCD corta el lado AB en E, y el circuncírculo del triángulo ABD corta al lado BC en F. Demostrar que AE=CF.
Dos homotecias en un trapecio
Las prolongaciones de los lados AB y CD de un trapecio se intersecan en K, y sus diagonales en L. Si M,N son los puntos medios de de las bases, demostrar que los puntos K,L,M,N están en una misma recta.
