Publicaciones Recientes

Problema

Un producto de Cauchy

Enviado por jmd el 22 de Junio de 2010 - 16:07.

Sea dada una sucesión finita $a_0,a_1,a_2,\ldots,a_n$ de números reales positivos. Demostrar que la sucesión es geométrica si y sólo si se cumple la ecuación
$$(a_0^2+a_1^2+\ldots+a_{n-1}^2)(a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2)=(a_0a_1+a_1a_2+\ldots+a_{n-1}a_n)^2$$

Problema

Trapecio isósceles

Enviado por jmd el 21 de Junio de 2010 - 07:24.

Sea dado un trapecio isósceles ABCD. Demostrar:

Si la altura y la línea media (unión de los puntos medios de sus lados) son congruentes entonces sus diagonales son perpendiculares.

Decir también si la recíproca se cumple (con prueba o contraejemplo).

Entrada de blog

Si tienes la teoría, la práctica es más eficaz

Enviado por jmd el 19 de Junio de 2010 - 13:54.

El problema 1 del concurso estatal

Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001

pone en juego uno de los conocimientos más elementales de las matemáticas escolares: el significado de "múltiplo" y el algoritmo de la división. No se necesita más para resolverlo.

El método directo es emprender la división entre 1001. Pero son muchas cifras... tantas que no caben todas en la hoja de papel. ¿Entonces? Bueno, lo que está obligado a hacer el cognizador es a idear una estrategia alternativa.

Noticia

Preselección Tamaulipas para la XXIV OMM

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 18:23.

Preselección estatal, Tamaulipas 2010, XXIV OMM

Problema

Distancia a la otra tangente común

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:33.

Considere dos circunferencias de radios $r$ y $R$, y centros $B$ y $C$, respectivamente. Demostrar que si $A$ es un punto sobre una tangente externa común a las dos circunferencias, y es equidistante a los centros de éstas, entonces la distancia de $A$ a la otra tangente externa común es $r+R$.

Problema

Dos desigualdades y una ecuación

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:27.

a) Demostrar que para todas las parejas $a,b$ de números reales se cumplen las desigualdades:
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(ab+1)^2$$
$$(a^2+1)(b^2+1)\geq(a+b)^2$$
b) Decir, con prueba, para qué valores se cumple la igualdad en cada una de las desigualdades anteriores.

c) Encontrar todas las soluciones $(x,y)$ en números reales, de la ecuación $(x^2+1)(y^2+1)=(xy+1)(x+y)$

Problema

No podrían saludar sólo a uno

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:13.

Cada uno de los 61 competidores en el concurso estatal saludó de mano al menos a otro competidor. Demostrar que alguno de ellos saludó de mano al menos a dos competidores.

Problema

Múltiplo de 1001

Enviado por jmd el 18 de Junio de 2010 - 12:07.

Demostrar que el número 100...001, el cual tiene doscientos ceros intermedios, es múltiplo de 1001.

Entrada de blog

Método de áreas (para encontrar razones)

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2010 - 19:18.

Es conocido el hecho de que dos triángulos con la misma base y la misma altura tienen igual área.

Un poco menos conocido es el hecho de que si tienen la misma altura, la razón de sus bases es igual a la razón de sus áreas. Elemental, pero hay que verlo funcionando:

Problema

¿Cómo se demostraba Ceva con áreas?

Enviado por jmd el 16 de Junio de 2010 - 07:16.

Sean $L,M,N$ puntos sobre los lados $BC,CA,AB$ del triángulo $ABC$, y las cevianas $AL,BM,CN$ concurrentes en el punto P. Calcular el valor numérico de las sumas de razones siguientes:

$$\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM}+\frac{PN}{CN}$$

 

$$\frac{AP}{AL}+\frac{BP}{BM}+\frac{CP}{CN}$$

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