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Construcción de un triángulo equilátero
Esta es la construcción más básica de todas, de hecho, esta es la primera construcción que hace Euclides en sus elementos de geometría.
En la siguiente escena interactiva usa los botones ">>" y "<<" para ver paso a paso cómo se construye el triángulo equilátero dado uno de sus lados.
Introducción
Las construcciones con regla y compas son aquellas que se pueden realizar usando únicamente estos dos instrumentos. Como todo mundo ya estamos familiariazados con ellos podríamos omitir su definición, sin embargo hay qué aclarar un par de cosas formales sobre estos objetos.
La regla
Asumiremos que nuestra regla no es graduada, lo que nada más nos va complicar las cosas, pero es como comúnmente se estudia esta teoría.
La regla es capaz de unir cualesquiera dos puntos y extender los extremos del segmento que los une tanto como se quiera.
Construcciones geométricas con regla y compás
En este libro hemos tratado de agrupar las construcciones básica con regla y compás propias de un primer curso de dibujo técnico.
No hemos querido hacer un aburrido libro con una lista de construcciones, así que decidimos agregar a cada construcción una animación que recree las trazos paso a paso, además de una explicación sobre cómo y porqué funcionan.
Esperamos que este libro sea de utilidad para muchos.
Los applets interactivos que muestran paso a paso las construcciones con regla y compás de este libro fueron desarrolladas con GeoGebra.
Sistema simétrico y Vieta
Resolver el sistema de ecuaciones $x^2+y^2+x+y=6, ~xy+x+y=-1$. (Es decir, encontrar los valores de $x,y$ que cumplen ambas ecuaciones.)
Competencias expertas en el problem solving --ilustrado con two loci
Las fórmulas de Vieta: un tema inadaptado... a la ecología escolar
Dentro del hábitat de la escuela y las matemáticas escolares se tiene una dinámica propia impuesta por los deberes administrativos de los profesores y los usos y costumbres de los alumnos y los profesores.
En ese medio ambiente escolar, algunos temas y métodos de enseñanza se adaptan mejor que otros. Y hay algunos que nunca han logrado adaptarse y, en consecuencia, se han extinguido o se han refugiado en nichos más favorables. (Como se sabe, las ardillas se refugian en los bosques --si son ebanales mejor, pues también hay mahuacatas.) Consecuencia: han desaparecido de los textos escolares.
Congruencias (módulos)
El conocimiento de este tema hace la diferencia entre un estudiante preparado para la olimpiada y uno que sólo domina las matemáticas escolares.
Este tema es fundamental en la olimpiadas de matemáticas, no conocerlo es como no haber estado en la olimpiada.
En el ámbito de la teoría de los números, la teoría de clases residuales ( o de modulos) es el segundo paso hacia el estudio de teoría de número.
Ejercicio 3.3.9
Sean $\pi_1, \pi_2, \pi_3, \pi_4, \pi_5, \pi_6$ tres planos en un espacio proyectivo tridimensional de tal manera que cada uno de los siguientes conjuntos de tres planos tienen una línea común de intersección:
\[\{\pi_1, \pi_2, \pi_3\}, \{\pi_1, \pi_4, \pi_5\}, \{\pi_3, \pi_5, \pi_6\}, \{\pi_2, \pi_4, \pi_6\}\]
Más aun, no cuatro de éstos planos tienen una línea común.
Prueba que los seis planos tienen un punto en común.
Ejercicio 3.3.12
Demuestra lo siguiente sobre planos afines:
Ejercicio 3.3.6
Supon que el teorema de Desargues es válido en un cierto plano proyectivo $\mathcal{P}$. Prueba que su converso también será válido sin utilizar el Principio de Dualidad.
